Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 10924:

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{1}{1+8^{a}}$ + $\frac{1}{1+8^{b}}$ + $\frac{1}{1+8^{c}}$ .

A. Giá trị nhỏ nhất bằng -1 .

B. Giá trị nhỏ nhất bằng 3 .

C. Giá trị nhỏ nhất bằng 2 .

D. Giá trị nhỏ nhất bằng 1 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10924

Giải chi tiết

Với mọi x, y > 1 ta có $\frac{1}{1+x^{2}}$ + $\frac{1}{1+y^{2}}$ ≥ $\frac{2}{1+xy}$

Thật vậy $\frac{1}{1+x^{2}}$ + $\frac{1}{1+y^{2}}$ ≥ $\frac{2}{1+xy}$ ⇔(2 + x² + y²)(1 + xy) ≥ 2(1 + x²)(1 + y²) ⇔(xy – 1)(x – y)² ≥ 0 luôn đúng với mọi x, y > 1

Dấu “=” xảy ra khi x = y

Vì a, b ,c dương nên 8^a, 8^b, 8^c lớn hơn 1. Áp dụng kết quả trên ta có

$\frac{1}{1+8^{a}}$ + $\frac{1}{1+8^{b}}$ + $\frac{1}{1+8^{c}}$ + $\frac{1}{1+ 2}$ ≥ $\frac{2}{1+\sqrt{8^{a+b}}}$ + $\frac{2}{1+\sqrt{2.8^{c}}}$ ≥ $\frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{8^{a+b}.8^{c}.2}}}$ = $\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{16}}}$ = $\frac{4}{3}$

=> $\frac{1}{1+8^{a}}$ + $\frac{1}{1+8^{b}}$ + $\frac{1}{1+8^{c}}$ ≥ 1

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a= b = c = $\frac{1}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.