Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 1126:

Cho các số thực dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}$ + $\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}$ + $\frac{4c^{3}}{3(c+a)^{3}}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P là - $\frac{2}{3}$

B. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{2}{3}$

C. Giá trị nhỏ nhất của P là - $\frac{3}{2}$

D. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{3}{2}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1126

Giải chi tiết

Ta có P = $\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^{2}}$ + $\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^{2}}$ + $\frac{4}{3(1+\frac{a}{c})^{3}}$ .

Đặt x = $\frac{b}{a}$ , y = $\frac{c}{b}$ , z = $\frac{a}{c}$ .

Khi đó x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1 và

P = $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ + $\frac{4}{3(1+z)^{3}}$ .

Ta chứng minh $\frac{1}{(1+x)^{2}}$ + $\frac{1}{(1+y)^{2}}$ ≥ $\frac{1}{1+xy}$ (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) ⇔ xy(x - y)²+ (1 - xy)²≥ 0, luôn đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x=y\\xy=1\end{matrix}\right.$ ⇔ x = y = 1

Áp dụng (*) và sử dụng xyz = 1 ta có

P ≥ $\frac{1}{1+xy}$ + $\frac{4}{3(1+z)^{3}}$ = $\frac{z}{1+z}$ + $\frac{4}{3(1+z)^{3}}$ .

Xét hàm f(z) = $\frac{z}{1+z}$ + $\frac{4}{3(1+z)^{3}}$ trên (0;+∞)

Ta có f'(z) = $\frac{1}{(z+1)^{2}}$ - $\frac{4}{(1+z)^{4}}$ = $\frac{(z-1)(z+3)}{(1+z)^{4}}$ ; f'(z) = 0 ⇔ z = 1

Từ bảng biến thiên

ta suy ra P ≥ $\frac{2}{3}$ , dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}x=y=1\\z=1\end{matrix}\right.$

⇔ x = y = z = 1 hay a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{2}{3}$ , đạt khi a = b = c.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.