Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 11592:

Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\small \frac{x}{2x+3y}$ + $\small \frac{y}{y+z}$ + $\small \frac{z}{z+x}$

A. minP = 2

B. minP = $\frac{34}{33}$

C. minP = 1

D. minP = - $\frac{34}{33}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:11592

Giải chi tiết

P = $\small \frac{x}{2x+3y}$ + $\small \frac{y}{y+z}$ + $\small \frac{z}{z+x}$

Lấy đạo hàm theo z ta có: P'(z) = 0 + $\small \frac{-y}{(y+z)^{2}}$ + $\small \frac{x}{(z+x)^{2}}$ = $\small \frac{(x-y)(z^{2}-xy)}{(y+z)^{2}(z+x)^{2}}$

+Nếu x = y thì P = $\frac{6}{5}$

+Ta xét x > y thì P ≥ P( $\sqrt{xy}$ ) = $\small \frac{x}{2x+3y}$ + $\small \frac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}$

Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ nhất khi z = $\sqrt{xy}$

Đặt t = $\sqrt{\frac{x}{y}}$ ⇒ P thành f(t) = $\small \frac{t^{2}}{2t^{2}+3}$ + $\small \frac{2}{1+t}$ (t ∈ (1 ; 2])

⇒ f'(t) = $\small \frac{-2[4t^{3}(t-1)+3(2t^{2}-t+3)]}{(2t^{2}+3)^{2}(t+1)^{2}}$ < 0

Vậy P ≥ f(t) ≥ f(2) = $\frac{34}{33}$ . Dấu "=" xảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2. Vậy minP = $\frac{34}{33}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.