Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

Câu hỏi số 13379:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x² + y² + z² – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

A. Tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thỏa mãn điều kiện đầu bài là : x – y + z = 0 và - x – y - z = 0.

B. Tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thỏa mãn điều kiện đầu bài là : x – y + z = 0 và x – y – z = 0.

C. Tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thỏa mãn điều kiện đầu bài là : x – y + z = 0 và x + y – z = 0.

D. Tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thỏa mãn điều kiện đầu bài là : x + y + z = 0 và x – y – z = 0.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13379

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; 2) và bán kính R = 2√3.

Nhận thấy rằng các điểm O, A thuộc (S) và với giả thiết ∆OAB đều nên nó có bán kính đường tròn ngoại tiếp r được cho bởi: r = $\frac{OA}{\sqrt{3}}$ = $\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ .

Từ giả thiết:

+ (OAB) đi qua O nên có dạng ax + by + cz = 0, a² + b² + c² > 0 (*)

+ (OAB) đi qua A nên 4a + 4b = 0 ⇔b = - a.

Khi đó, khoảng cách từ I tới (OAB) được cho bởi :

$\frac{|2a+2b+2c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ = $\sqrt{R^{2}-r^{2}}$

⇔ $\frac{|2c|}{\sqrt{2a^{2}+c^{2}}}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ⇔

√3|c| = $\sqrt{2a^{2}+c^{2}}$ ⇔ 3c² = 2a² + c² ⇔c = ±a.

Ta lần lượt :

+ Với c = a thì mặt phẳng (OAB) có dạng: (OAB) : ax – ay + az = 0 ⇔(OAB): x – y + z = 0.

+ Với c = -a thì mặt phẳng (OAB) có dạng: (OAB) : ax – ay – az = 0 ⇔(OAB): x – y – z = 0.

Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.