Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Câu hỏi số 13414:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

A. Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(-3 ; 0; 2).

B. Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ; 0; -2).

C. Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ;0; 2).

D. Đường tròn (C) có bán kính bằng 3 và tâm H(3 ; 0; 2).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13414

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I( 1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có: d(I, (P)) = $\frac{|2.1-2.2-1.3-4|}{\sqrt{4+4+1}}$ = 3< R

=>(P) ∩ (S) = {C} là một đường tròn trong mặt phẳng (P).

Đương tròn (C) có bán kính r và tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

+Bán kính r được cho bởi r = $\sqrt{R^{2}-IH^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4

+Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) ( có vtpt(2 ; -2; -1)), ta có :

(d) qua I(1; 2; 3) và vtcp $\overrightarrow{n_{P}}$ (2; -2; -1) ⇔ (d): $\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\end{matrix}\right.$ , t ∈ R.

+Khi đó tọa độ của H là nghiệm x, y, z của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2x-2y-z-4=0\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2(1+2t)-2(2-2t)-(3-t)-4=0\end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix}x=3\\y=0\\z=2\end{matrix}\right.$ => H(3; 0 ;2).

Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3; 0; 2).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.