Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Câu hỏi số 13414:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình: (P): 2x – 2y – z – 4 = 0, (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

A. Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(-3 ; 0; 2).

B. Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ; 0; -2).

C. Đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3 ;0; 2).

D. Đường tròn (C) có bán kính bằng 3 và tâm H(3 ; 0; 2).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13414

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I( 1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có: d(I, (P)) = $\frac{|2.1-2.2-1.3-4|}{\sqrt{4+4+1}}$ = 3< R

=>(P) ∩ (S) = {C} là một đường tròn trong mặt phẳng (P).

Đương tròn (C) có bán kính r và tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

+Bán kính r được cho bởi r = $\sqrt{R^{2}-IH^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4

+Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) ( có vtpt(2 ; -2; -1)), ta có :

(d) qua I(1; 2; 3) và vtcp $\overrightarrow{n_{P}}$ (2; -2; -1) ⇔ (d): $\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\end{matrix}\right.$ , t ∈ R.

+Khi đó tọa độ của H là nghiệm x, y, z của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2x-2y-z-4=0\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3-t\\2(1+2t)-2(2-2t)-(3-t)-4=0\end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix}x=3\\y=0\\z=2\end{matrix}\right.$ => H(3; 0 ;2).

Vậy, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 4 và tâm H(3; 0; 2).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.