Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= và trục hoành

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 13672:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= $\frac{xln(x+2)}{\sqrt{4-x^{2}}}$ và trục hoành

A. S=2ln3+3

B. S=2+ $\sqrt{3}$ + $\frac{\pi }{2}$

C. S=2ln2-2+ $\sqrt{3}$ - $\frac{\pi }{3}$

D. S=ln2-2+ $\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13672

Giải chi tiết

Ta có phương trình $\frac{xln(x+2)}{\sqrt{4-x^{2}}}$ =0 <=> $\begin{bmatrix} x=0\\x=-1 \end{bmatrix}$ Suy ra hình phẳng cần tính diện tích chính là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y= $\frac{xln(x+2)}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ; y=0; x=-1; x=0

Do diện tích của hình phẳng là S= $\int_{-1}^{0}$ | $\frac{xln(x+2)}{\sqrt{4-x^{2}}}$ |dx

= $\int_{-1}^{0}$ $\frac{-xln(x+2)}{\sqrt{4-x^{2}}}$ dx

Đặt u=ln(x+2), dv= $\frac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ dx. Khi đó du= $\frac{dx}{x+2}$ , v= $\sqrt{4-x^{2}}$

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

S= $\sqrt{4-x^{2}}$ ln(x+2) $|_{-1}^{0}$ - $\int_{-1}^{0}$ $\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x+2}$ dx=2ln2- $\int_{-1}^{0}$ $\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x+2}$ dx

Đặt x=2sint => dx=2costdt. Khi x=-1, t= $\frac{-\pi }{6}$ ; Khi x=0, t=0

Suy ra:

I= $\int_{-1}^{0}$ $\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x+2}$ dx= $\int_{-\frac{\pi }{6}}^{0}$ $\frac{4cos^{2}t}{2sint+2}$ dt =2 $\int_{-\frac{\pi }{6}}^{0}$ (1-sint)dt= 2(t+cost) $|_{-\frac{\pi }{6}}^{0}$

=2+ $\frac{\pi }{3}$ - $\sqrt{3}$

Suy ra S=2ln2-2+ $\sqrt{3}$ - $\frac{\pi }{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.