Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 13852:

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48 $(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})$

A. 56

B. 57

C. 58

D. 59

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13852

Giải chi tiết

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab <=> (a+b)^{2}+c^{2}=5(a+b+c)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(a+b)^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{2}.(a+b+c)^{2} => \frac{1}{2}.(a+b+c)^{2}\leq 5(a+b+c) => 0<a+b+c\leq 10$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a+10}{3}}}; \sqrt{\frac{a+10}{3}}=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{a+10}{3}.4}\leq \frac{1}{4}.(\frac{a+10}{3}+4)=\frac{a+22}{12}$

=> $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}\geq \frac{12}{a+22}$

$\sqrt[3]{b+c}=\frac{1}{4}.\sqrt[3]{(b+c).8.8}\leq \frac{1}{4}.\frac{b+c+8+8}{3}=\frac{b+c+16}{12} => \frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\geq \frac{12}{b+c+16}$

=> P $\geq a=b+c+48.12.(\frac{1}{a+22}+\frac{1}{b+c+16})$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

$\frac{1}{a+22}+\frac{1}{b+c+16}\geq \frac{4}{a+b+c+38} => P\geq a+b+c+\frac{2304}{a+b+c+38}$

Đặt t=a+b+c => t $\in (0;10]$ => P $\geq$ t+ $\frac{2304}{t+38}$ . Xét hàm f(t)=t+ $\frac{2304}{t+38}$ trên (0;10]

Ta có: f'(t)=1- $\frac{2304}{(t+38)^{2}}=\frac{(t-10).(t+86)}{(t+38)^{2}} =>$ f'(t) $\leq$ 0 mọi t $\in$ (0;10]

=> f(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) $\geq$ f(10) mọi t $\in$ (0;10]; f(10)=58

=> P $\geq$ 58

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a+b+c=10\\ a+b=c\\ \frac{a+10}{3}=4\\ b+c=8 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=3\\ c=5 \end{matrix}\right.$

Vậy MinP=58, đạt được khi: a=2; b=3; c=5

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.