Cho hình phẳng giới hạn bởi D = {y = ; y = } a.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D. b.Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox.

Câu hỏi số 13855:

Cho hình phẳng giới hạn bởi D = {y = $\frac{1}{x^{2}+1}$ ; y = $\frac{x^{2}}{2}$ } a.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D. b.Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox.

A. 1. Học sinh tự giải; 2. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là V = $\frac{\pi ^{2}}{4}$ - $\frac{3\pi }{10}$ (đvtt).

B. 1. Học sinh tự giải; 2. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là V = - $\frac{\pi ^{2}}{4}$ + $\frac{3\pi }{10}$ (đvtt).

C. 1. Học sinh tự giải; 2. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là V = $\frac{\pi ^{2}}{4}$ + $\frac{3\pi }{10}$ (đvtt).

D. 1. Học sinh tự giải; 2. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là V = $\frac{\pi ^{2}}{4}$ + $\frac{\pi }{10}$ (đvtt).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13855

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{x^{2}+1}$ = $\frac{x^{2}}{2}$ ⇔ $\begin{bmatrix}x=1\\x=-1\end{bmatrix}$ .

1. Học sinh tự giải.

2. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính được cho bởi:

V = π $\int_{-1}^{1}$ |( $\frac{1}{x^{2}+1}$ )² – ( $\frac{x^{2}}{2}$ )²|dx = π $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ dx – π( $\frac{1}{10}$ x⁵) $\begin{vmatrix}1\\-1\end{vmatrix}$

= π $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ dx – $\frac{\pi }{5}$ . (1)

Xét tích phân: I = $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ dx.

Thực hiện phép đổi biến x = tant thì dx = $\frac{1}{cos^{2}t}$ dt.

Đổi cận:

+ Với x = -1 thì t = - $\frac{\pi }{4}$

+ Với x = 1 thì t = $\frac{\pi }{4}$

Khi đó :

I = π $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{\frac{1}{cos^{2}t}}{(\frac{1}{cos^{2}t})^{2}}$ dt

= π $\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ ( $\frac{1+cos2t}{2}$ )dt

= π( $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{4}$ sin2t) $\begin{vmatrix}\pi /4\\-\pi /4\end{vmatrix}$ = $\frac{\pi ^{2}}{4}$ + $\frac{\pi }{2}$ . (2)

Thay (2) vào (1), ta được: V = $\frac{\pi ^{2}}{4}$ + $\frac{3\pi }{10}$ (đvtt).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.