Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2)

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 13943:

Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)³+ 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x⁴ + y⁴ + x²y²) – 2(x² + y²) + 1

A. Giá trị nhỏ nhất của A bằng - $\frac{9}{16}$

B. Giá trị nhỏ nhất của A bằng $\frac{9}{16}$

C. Giá trị nhỏ nhất của A bằng $\frac{3}{2}$

D. Giá trị nhỏ nhất của A bằng $\frac{9}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:13943

Giải chi tiết

Kết hợp (x + y)³ + 4xy ≥ 2 với (x + y)² ≥ 4xy suy ra: (x + y)³ + (x + y)² ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1

A = 3(x⁴ + y⁴ + x² y²) − 2(x² + y² ) + 1 = $\frac{3}{2}$ (x² + y²)² + $\frac{3}{2}$ (x⁴ + y⁴) − 2(x² + y²) + 1 ≥ $\frac{3}{2}$ (x² + y ²)² + $\frac{3}{4}$ (x² + y²)² − 2(x² + y²) + 1 ⇒ A ≥ $\frac{9}{4}$ ( x² + y ²)² − 2(x² + y²) + 1

Đặt t = x² + y² , ta có x² + y² ≥ $\frac{(x+y)^{2}}{2}$ ≥ $\frac{1}{2}$ ⇒ t ≥ $\frac{1}{2}$ ; do đó A ≥ $\frac{9}{4}$ t² − 2t + 1.

Xét f(t) = $\frac{9}{4}$ t² − 2t + 1; f'(t) = $\frac{9}{2}$ t - 2 > 0 với mọi t ≥ $\frac{1}{2}$ ⇒ $\underset{[\frac{1}{2};+\infty )}{min}$ f(t) = f( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{9}{16}$

A ≥ $\frac{9}{16}$ ; đẳng thức xảy ra khi x = y = $\frac{1}{2}$ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng $\frac{9}{16}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.