Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle ABC = {30^o}\) và \(BC = a\sqrt 5 \). Tính độ dài của có

Câu hỏi số 145384:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle ABC = {30^o}\) và \(BC = a\sqrt 5 \). Tính độ dài của có vecto \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)

A. Độ dài của các vecto theo thứ tự là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{a\sqrt {15} }}{2};\,\,a\sqrt 5 .\)

B. Độ dài của các vecto theo thứ tự là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{4};\,\,\frac{{a\sqrt {15} }}{4};\,\,a\sqrt 5 .\)

C. Độ dài của các vecto theo thứ tự là: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,\frac{{a\sqrt 5 }}{2};\,\,a\sqrt 5 .\)

D. Độ dài của các vecto theo thứ tự là: \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{a\sqrt {15} }}{2};\,\,2a\sqrt 5 .\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:145384

Giải chi tiết

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)

Mà sin \(\angle ABC = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin \angle ABC = a\sqrt 5 .\sin {30^0} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Do đó:\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {5{a^2} - \frac{{5{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)

Vì vậy \(\left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)

Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có:\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

Vì \(\Delta ABC\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AD = BC = a\sqrt 5 .\)

Vậy: \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = a\sqrt 5 \)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.