Cho \(\Delta ABC,\,\,M\) và \(N\) xác định bởi : \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} =

Câu hỏi số 146496:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC,\,\,M\) và \(N\) xác định bởi : \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 ,\,\,\,\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .\) Trọng tâm của\(\Delta ABC\) là \(G.\)

1. Chứng minh rằng \(M,\,\,G,\,\,N\) thẳng hàng.

2. Tính \(\overrightarrow{AC}\,\,theo\,\,\,\overrightarrow{AG},\,\,\overrightarrow{AN}\) và \(AC\) cắt \(GN\) tại \(P.\) Tính \(\frac{{PA}}{{PC}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:146496

Giải chi tiết

1.Ta có : \(3\overrightarrow {GA} + 4\overrightarrow {GB} = 7\overrightarrow {GM} \)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GB} - 3\overrightarrow {GC} = - 2\overrightarrow {GN} \\ \Rightarrow \overrightarrow {GB} + 3\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) = - 2\overrightarrow {GN} \\ \Rightarrow 3\overrightarrow {GA} + 4\overrightarrow {GB} = - 2\overrightarrow {GN} .\end{array}\)

Vậy : \(7\overrightarrow {GM} = - 2\overrightarrow {GN} \). Suy ra \(G,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.

2. Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC,\) ta có :

\(\begin{array}{l}EC = EB = CN \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AN} \\ \Rightarrow 2\overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {AN} \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AG} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AN} .\end{array}\) (*)

Gọi \(P'\) là điểm thuộc đường thẳng \(GN\) và thỏa mãn: \(\frac{3}{4}\overrightarrow {P'G} + \frac{1}{2}\overrightarrow {P'N} = \vec 0\)

Từ (*) ta có : \(\overrightarrow {AC} = \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} \right)\overrightarrow {AP'} \Rightarrow A,\,\,C,\,\,P'\) thẳng hàng

Vậy : \(\left\{ {P'} \right\} = AC \cap GN \Rightarrow P' \equiv P \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PC} = \frac{5}{4}\overrightarrow {AP} \Rightarrow \overrightarrow {PC} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {PA} \Rightarrow \frac{{PA}}{{PC}} = 4.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.