Cho \(\Delta ABC,\) trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) ta lấy lần lượt các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\)

Câu hỏi số 146499:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC,\) trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) ta lấy lần lượt các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{{CP}}{{CA}}\). Chứng minh rằng hai \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNP\) có cùng trọng tâm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:146499

Giải chi tiết

Giả sử \(\frac{{AM}}{{AB}} = k\) suy ra \(\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} ;\,\,\overrightarrow {BN} = k\overrightarrow {BC} ;\,\,\overrightarrow {CP} = k\overrightarrow {CA} \).

Cách 1: Gọi \(G,\,\,G'\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNP.\)

Suy ra \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0};\,\,\overrightarrow{G'M}+\overrightarrow{G'N}+\overrightarrow{G'P}=\vec{0}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'M}=k\overrightarrow{AB}\)

Tương tự \(\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'N}=k\overrightarrow{BC} \\ &\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'P}=k\overrightarrow{CA} \\\end{align} \right..\)

Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được

\(\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + 3\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'M} + \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'P} } \right) = k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)

Kết hợp với (*) ta được \(\overrightarrow{GG'}=\vec{0}\). Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2 : Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0.\)

Ta có: \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} \)

\( = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {CA} = k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \vec 0\)

Vậy hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10