Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 3(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca = 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + ab + bc + ca.

Câu hỏi số 1537:

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 3(a² + b² + c²) + ab + bc + ca = 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}$ + ab + bc + ca.

A. Giá trị lớn nhất của P là 4 Giá trị nhỏ nhất của P là -4

B. Giá trị lớn nhất của P là 2 Giá trị nhỏ nhất của P là -2

C. Giá trị lớn nhất của P là 4 Giá trị nhỏ nhất của P là -2

D. Giá trị lớn nhất của P là 4 Giá trị nhỏ nhất của P là 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1537

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có

12 ≥ 3(a² + b² + c²) ⇒ a² + b² + c² ≤ 4;

12 ≤ 3(a² + b² + c²) + a² + b² + c² ⇒ a² + b² + c² ≥ 3.

Suy ra a² + b² + c² ∈ [3 ; 4].

Cũng từ giả thiết ta có a + b + c = $\sqrt{24-5(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ . Do đó

P = $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{24-5(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}$ + 12 - 3(a² + b² + c²).

Đặt t = $\sqrt{24-5(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ . Khi đó t ∈ [2 ; 3] và

P = $\frac{\frac{1}{5}(24-t^{2})}{t}$ + 12 - 3 . $\frac{24-t^{2}}{5}$ = $\frac{1}{5}$ (3t² – t + $\frac{24}{t}$ ) - $\frac{12}{5}$ .

Xét hàm f(t) = 3t² – t + $\frac{24}{t}$ trên [2 ; 3]. Ta có

f'(t) = 6t - 1 - $\frac{24}{t^{2}}$ = (t - 1) + (5t - $\frac{24}{t^{2}}$ ) > 0 với mọi t ∈ [2 ; 3]

Suy ra $\underset{[2;3]}{max}$ f(t) = f(3) = 32; $\underset{[2;3]}{min}$ f(t) = f(2) = 22

Suy ra 2 ≤ P ≤ 4 và P = 2 ⇔ t = 2 khi a = 2, b = c = 0 và P = 4 ⇔ t = 3 khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 4, đạt khi a = b = c = 1;

giá trị nhỏ nhất của P là 2, đạt khi a = 2, b = c = 0 hoặc các hoán vị

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.