Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x5 + y5 + z5.

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16686:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x² + y² + z² = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x⁵ + y⁵ + z⁵.

A. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{5\sqrt{6}}{36}$ .

B. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{\sqrt{6}}{36}$ .

C. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{3\sqrt{6}}{36}$ .

D. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{7\sqrt{6}}{36}$ .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16686

Giải chi tiết

Với x + y + z = 0 và x² + y² + z² = 1, ta có :

0 = (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2x(y + z) + 2yz = 1 – 2x² + 2yz , nên yz = x² - $\frac{1}{2}$ .

Mặt khác yz ≤ $\frac{y^{2}+z^{2}}{2}$ = $\frac{1-x^{2}}{2}$ , suy ra : x² - $\frac{1}{2}$ ≤ $\frac{1-x^{2}}{2}$ , do đó - $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ≤ x ≤ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ (*)

Khi đó : P = x⁵ + (y² + z²)(y³ + z³) – y²z²(y + z)

= x⁵ + (1 – x²)[( y² + z²)(y + z) – yz(y + z)] + (x² - $\frac{1}{2}$ )²x

= x⁵ + ( 1 – x²)[ - x(1 – x²) + x(x² - $\frac{1}{2}$ )] + (x² - $\frac{1}{2}$ )²x = $\frac{5}{4}$ (2x³ – x).

Xét hàm f(x) = 2x³ – x trên [- $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ; $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ], suy ra f’(x) = 6x² – 1; f’(x) = 0

⇔ x = ± $\frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Ta có f(- $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ) = f( $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ) = - $\frac{\sqrt{6}}{9}$ , f( $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ) = f(- $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ) = $\frac{\sqrt{6}}{9}$ .

Do đó f(x) ≤ $\frac{\sqrt{6}}{9}$ .

Suy ra P ≤ $\frac{5\sqrt{6}}{36}$

Khi x = $\frac{\sqrt{6}}{3}$ , y = z = - $\frac{\sqrt{6}}{6}$ thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{5\sqrt{6}}{36}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.