Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( )2 + ( )2 + ( )2 .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 1673:

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( $\frac{x+2\sqrt{xy}+z}{x+1}$ )² + ( $\frac{y+2\sqrt{yz}+x}{y+1}$ )² + ( $\frac{z+2\sqrt{zx}+y}{z+1}$ )² .

A. x = y = z = 1

B. x = 1, y =2 , z = 1

C. x = y = z = -1

D. x = -1, y = 2 ,z = -1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1673

Giải chi tiết

Chú ý rằng ,với 2 vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ta có $\left | \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right |$ ≤ $\left|\overrightarrow{u}\right.|\left|\overrightarrow{v}\right|$

Áp dụng bất đẳng thức trên cho 2 vectơ $\overrightarrow{u}$ =(x; $\sqrt{2x}$ ;1) , $\overrightarrow{v}$ (1; $\sqrt{2y}$ ; z)

ta được (x + 2 $\sqrt{xy}$ + z²) = (x.1 + $\sqrt{2x}$ . $\sqrt{2y}$ + 1.z)²≤ (x² + 2x + 1)(1 + 2y + z²)

Suy ra : ( $\frac{x+2\sqrt{xy}+z}{x+1}$ )² ≤ 1+ 2y + z²

Tương tự ta thu được: ( $\frac{y+2\sqrt{yz}+x}{y+1}$ )² ≤ 1 + 2z + x²

( $\frac{z+2\sqrt{zx}+y}{z+1}$ )² ≤ 1 + 2x + y².

Từ đó ta đạt được:

P ≤ 3 + 2(x + y + z) + x² + y²+ z² ≤ 6 + 2 $\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}$ = 12

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, đạt khi x = y = z = 1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.