Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2| và có một acgumen bằng

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Số phức

Câu hỏi số 1816:

Tìm số phức z thỏa mãn |1 - 2z| = |i - 2 $\bar{z}$ | và $\frac{z+3}{z-3}$ có một acgumen bằng $\frac{\pi}{4}$

A. z = -3 + 6i

B. z = -3 - 6i

C. z = 3 + 6i

D. z = 3 - 6i

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1816

Giải chi tiết

Đặt z = x + yi (x,y ∈ R)

Khi đó |1 - 2z| = |i - 2 $\bar{z}$ | ⇔ |(2x - 1) + yi| = |2x - (y + 1)i|

⇔ (2x - 1)²+y²= (2x)² + (y + 1)²

⇔ -2x = y (1)

Ta cũng có $\frac{z+3}{z-3}$ = $\frac{(x+3)+yi}{(x-3)+yi}$ = $\frac{((x+3)+yi)((x-3)-yi)}{(x-3)^{2}+y^{2}}$

= $\frac{x^{2}-9+y^{2}}{(x-3)^{2}+y^{2}}$ + $\frac{-6y}{(x-3)^{2}+y^{2}}$ i (2)

Theo bài ra, $\frac{z+3}{z-3}$ có một acgumen bằng $\frac{\pi}{4}$

nên $\frac{z+3}{z-3}$ = r(cos $\frac{\pi}{4}$ + isin $\frac{\pi}{4}$ ) = $\frac{r}{\sqrt{2}}$ + $\frac{r}{\sqrt{2}}$ i, r > 0 (3)

Từ (2) và (3) suy ra $\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-9+y^{2}}{(x-3)^{2}+y^{2}}=\frac{r}{2}\\\frac{-6y}{(x-3)^{2}+y^{2}}=\frac{r}{2},r> 0\end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix}y< 0\\x^{2}-9+y^{2}=-6y\end{matrix}\right.$

Kết hợp (1) ta được $\left\{\begin{matrix}-2x=y< 0\\5x^{2}-12x-9=0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x=3\\y=-6\end{matrix}\right.$

Vậy z = 3 - 6i

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.