Tìm diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y=xsin2x; y=2x; x=

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 1817:

Tìm diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y=xsin2x; y=2x; x= $\frac{\pi }{2}$

A. S= $\frac{\sqrt{21}\pi ^{2}}{3}$ (đvdt)

B. $\frac{\pi ^{2}}{4}$ S= $\frac{\sqrt{3}\pi ^{2}}{2}$ (đvdt)

C. S= $\frac{\pi ^{2}}{4}$ - $\frac{\pi }{4}$ (đvdt)

D. S= $\frac{3\pi^{2} }{2}-\frac{\pi }{4}$ (đvdt)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1817

Giải chi tiết

Đặt (C₁): y=xsin2x; (d):y=2x.

Trước hết ta cần tìm giao của (C₁) và (d).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (d): xsin2x=2x

<=> xsin2x -2x=0 <=> x(sin2x-2)=0

<=> $\begin{bmatrix} x=0\\sin2x=2 (VN) \end{bmatrix}$

Vậy (C₁) ∩ (d) = O(0;0)

Vậy diện tích miền phẳng D: S= $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ |xsin2x-2x|dx

=> S=| $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ (xsin2x-2x)dx|= | $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ xsin2xdx - $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ 2xdx|

Ta tính $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ xsin2xdx=I₁.

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=u\\sin2xdx=dv \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} du=dx\\v=-\frac{1}{2}cos2x \end{matrix}\right.$

=> I₁= $-\frac{1}{2}$ x.cos2x $|_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ + $\frac{1}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ cos2xdx

= $-\frac{1}{2}$ ( $\frac{\pi }{2}$ cosπ - 0.cos0) + $\frac{1}{4}$ sin2x $|_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ = $\frac{\pi }{4}$ .

I₂= $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ 2xdx = x² $|_{0}^{\frac{\pi }{2}}$ = $\frac{\pi^{2} }{4}$

=>S=|I₁-I₂|= $\frac{\pi^{2} }{4}$ - $\frac{\pi }{4}$ (đvdt)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.