Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 18525:

Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= $\small \frac{x^{2}y}{z^{3}}+\frac{y^{2}z}{x^{3}}+\frac{z^{2}x}{y^{3}}+\frac{4xyz}{xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}}$

A. minP = $\small \frac{16}{3}$

B. minP = 3

C. minP = $\small \frac{13}{3}$

D. minP = 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:18525

Giải chi tiết

Đặt: a= $\small \frac{x}{z}$ ; b= $\small \frac{y}{x}$ ; c= $\small \frac{z}{y}$ => abc=1 và a+b+c ≥ 3

P= $\small \frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{4}{ab+bc+ca}$

Mà: $\small a^{2}+c^{2}\geq 2ac$ => $\small \frac{a^{2}}{c}\geq 2a-c$

Tương tự: $\small \frac{b^{2}}{a}\geq 2b-a$ ; $\small \frac{c^{2}}{b}\geq 2c-b$

Mặt khác: $\small (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

Nên: P≥

(a+b+c) + $\small \frac{12}{(a+b+c)^{2}}=\frac{4}{9}(a+b+c)+\frac{4}{9}(a+b+c)+\frac{12}{(a+b+c)^{2}}+\frac{1}{9}(a+b+c)\geq 4+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}$

Vậy minP = $\small \frac{13}{3}$ xảy ra khi a=b=c=1 hay x=y=z

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.