Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 18807:

$\small \frac{a(a+c-2b)}{1+ab}+\frac{b(b+a-2c)}{1+bc}+\frac{c(c+b-2a)}{1+ca}\geq 0$

A. .

B. .

C. .

D. .

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:18807

Giải chi tiết

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

$\small \frac{a(a+c+b-3b)}{1+ab}+\frac{b(b+a+c-3c)}{1+bc}+\frac{c(c+b+a-3a)}{1+ca}\geq 0$

⇔ $\small \frac{3a(1-b)}{1+ab}+\frac{3b(1-c)}{1+bc}+\frac{3c(1-a)}{1+ac}\geq 0$

⇔ $\small \frac{a(1-b)}{1+ab}+\frac{b(1-c)}{1+bc}+\frac{c(1-a)}{1+ac}\geq 0$

⇔ $\small \frac{a(1-b)}{1+ab}+1+\frac{b(1-c)}{1+bc}+1+\frac{c(1-a)}{1+ac}+1\geq 3$

⇔ $\small \frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\geq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\small \frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\geq 3$ . $\small \sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}$

Ta cần chứng minh: $\small \sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}$ ≥ 1

<=> (a+1)(b+1)(c+1) ≥ (1+ab)(1+bc)(1+ca)

<=> abc + ab +bc +ca + a +b +c +1 ≥ a²b²c² + abc(a+b+c) + ab +bc +ca +1

<=> 3 ≥ a²b²c² + 2abc (*)

Từ a+b+c=3 ≥ 3 $\small \sqrt[3]{abc}$ => abc ≤ 1

=> (*) đúng => điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.