Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x} \) bằng
Câu 190152: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x} \) bằng
A. \(\dfrac{9}{{10}}\)
B. \(2\sqrt 2 - 1\)
C. \(\dfrac{8}{{10}}\)
D. \(2\sqrt 2 - 2\)
Quảng cáo
Đặt ẩn phụ và khảo sát hàm số để tìm GTNN của hàm số.
-
Đáp án : D(12) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\) (vì t ≥ 0)
Măt khác \(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4\)\( \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2 \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)
Có \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = t - \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} = - \dfrac{{{t^2}}}{2} + t + 2\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = - \dfrac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên\(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\), có \(f'\left( t \right) = - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) (loại)
Có \(f\left( 2 \right) = 2;f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
