Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x} \)

Câu hỏi số 190152:

Vận dụng cao

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x} \) bằng

A. \(\dfrac{9}{{10}}\)

B. \(2\sqrt 2 - 1\)

C. \(\dfrac{8}{{10}}\)

D. \(2\sqrt 2 - 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:190152

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ và khảo sát hàm số để tìm GTNN của hàm số.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\) (vì t ≥ 0)

Măt khác \(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4\)\( \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2 \Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\)

Có \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = t - \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} = - \dfrac{{{t^2}}}{2} + t + 2\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - \dfrac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên\(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\), có \(f'\left( t \right) = - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) (loại)

Có \(f\left( 2 \right) = 2;f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.