Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho parabol (P): y2 = 2x và đường thẳng dm : 2mx - 2y -m = o (m ≠ 0). Gọi M,N là giao điểm của dm và (P). Chứng minh rằng với mọi m, đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Câu hỏi số 1918:

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho parabol (P): y² = 2x và đường thẳng d_m : 2mx - 2y -m = o (m ≠ 0). Gọi M,N là giao điểm của d_m và (P). Chứng minh rằng với mọi m, đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

A. d(I,∆) = $\frac{1+m^{6}}{m^{2}}=R_{\left(C\right )}$ nên đường tròn kính MN tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

B. $\frac{1+m^{5}}{m^{2}}=R_{\left(C\right )}$ nên đường tròn kính MN tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

C. d(I,∆) = $\frac{1+m^{4}}{m^{2}}=R_{\left(C\right )}$ nên đường tròn kính MN tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

D. d(I,∆) = $\frac{1+m^{2}}{m^{2}}=R_{\left(C\right )}$ nên đường tròn kính MN tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1918

Giải chi tiết

Tung độ của M và N là nghiệm của phương trình my²– 2y – m = 0. Gọi I là trung điểm M,N. Khi đó y_I = $\frac{y_{M}+y_{N}}{2}$ = $\frac{1}{m}$ (theo định lí vi - ét).

Do đó từ I ∈ d_m nên

x₁ = $\frac{2y_{I}+m}{2m}$ = $\frac{2+m^{2}}{2m^{2}}$

Ta có: MN² = (x_M – x_N)² + (y_M - y_N)²

= $\left ( \frac{2y_{M}+m}{2m}-\frac{2y_{M}+m}{2m} \right )^{2}$ + ( y_M + y_N)² = $\frac{m^{2}+1}{m^{2}}$ ( y_M + y_N)²

= $\frac{m^{2}+1}{m^{2}}$ ((y_M – y_N)² - 4y_M. y_N)

= $\frac{m^{2}+1}{m^{2}}$ ( $\frac{4}{m^{2}}$ + 4 ) = 4( $\frac{m^{2}+1}{m^{2}}$ )² (theo định lý vi et)

Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN có phương trình

(C): ( x - $\frac{2+m^{2}}{2m^{2}}$ )² + ( y - $\frac{1}{m}$ )² = ( $\frac{m^{2}+1}{m^{2}}$ )² .

Parabol (P) có đường chuẩn là ∆: x = $-\frac{1}{2}$ .

Ta thấy d(I,∆) = $\frac{1+m^{2}}{m^{2}}=R_{\left(C\right )}$ nên đường tròn kính MN tiếp xúc với đường chuẩn của (P).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.