Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có \(A'.ABC\)là hình chóp đều, \(AB = a\). Gọi \(\varphi \)là góc giữa
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có \(A'.ABC\)là hình chóp đều, \(AB = a\). Gọi \(\varphi \)là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) với \({\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) . Gọi H là tâm mặt đáy (ABC). Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.
Vì chóp \(A'.ABC\)là chóp đều nên ABC là tam giác đều
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC \( \Rightarrow \) \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\)
\(AH \cap BC = D \Rightarrow D\)là trung điểm của BC và \(AD \bot BC\)
Gọi E là trung điểm của B’C’.
\( \Rightarrow \)\(\left( {A'ADE} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = DE \Rightarrow DE//BB'\).
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AD\\BC \bot A'H\left( {A'H \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {A'ADE} \right)\)
Trong \(\left( {A'ADE} \right)\) kẻ \(HK \bot DE\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}HK \bot DE\\HK \bot BC\left( {BC \bot \left( {A'ADE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = HK\)
Vì \(A'.ABC\)là hình chóp đều nên \(A'B = A'C\)\( \Rightarrow \Delta A'BC\) cân tại A’ \( \Rightarrow A'D \bot BC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'D \bot BC\\AD \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'D;AD} \right)} = \widehat {A'DA} = \varphi \) (Vì \(\widehat {A'DA} < {90^0}\))
Ta có: \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3};HD = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Xét tam giác vuông \(A'HD\) có: \(A'D = \dfrac{{HD}}{{{\rm{cos}}\widehat {A'DA}}} = \dfrac{{HD}}{{{\rm{cos}}\varphi }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{a}{2}\)
\( \Rightarrow A'H = \sqrt {A'{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Xét tam giác vuông \(A'AH\) có
\(A'A = \sqrt {A'{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Có: \(\widehat {HDK} + \widehat {ADE} = {180^0}\) (kề bù)
\(\widehat {A'AH} + \widehat {ADE} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {HDK} = \widehat {A'AH}\\ \Rightarrow \Delta HDK \sim \Delta A'AH\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{A'A}} = \dfrac{{HK}}{{A'H}} \Rightarrow HK = \dfrac{{A'H.HD}}{{A'A}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{a}{6}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
