Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x và trục hoành.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 2045:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x $\sqrt{2x-x^{2}}$ và trục hoành.

A. Diện tích S = $\frac{\pi}{4}$

B. Diện tích S = $\frac{\pi}{5}$

C. Diện tích S = $\frac{\pi}{2}$

D. Diện tích S = $\frac{\pi}{6}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2045

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x $\sqrt{2x-x^{2}}$ và trục hoành là nghiệm của phương trình

x $\sqrt{2x-x^{2}}$ = 0 ⇔ $\begin{bmatrix}x=0\\x=2\end{bmatrix}$

Vì x $\sqrt{2x-x^{2}}$ > 0 với mọi x∈(0;2) nên diện tích hình giới hạn là

S = $\int_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^{2}}dx$

Ta có S = $\int_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^{2}}dx$ = $\int_{0}^{2}x\sqrt{1-(x-1)^{2}}dx$

Đặt x-1 = sin u, u ∈ $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ . Khi đó dx = cosudu

Khi x=0 thì u = - $\frac{\pi}{2}$ , Khi x = 2 thì u = $\frac{\pi}{2}$ .

Suy ra S = $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+sinu)cosu.cosudu$

= $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cosu^{2}du$ - $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cosu^{2}d(cosu)$

= $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2u}{2}du$ - $\frac{1}{3}$ cos³u $\begin{vmatrix}\frac{\pi}{2}\\-\frac{\pi}{2}\end{vmatrix}$ = ( $\frac{x}{2}$ + $\frac{sin2u}{4}$ ) $\begin{vmatrix}\frac{\pi}{2}\\-\frac{\pi}{2}\end{vmatrix}$ -0 = $\frac{\pi}{2}$

Vậy diện tích S = $\frac{\pi}{2}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.