Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) là số nguyên.
c) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)
Câu 206162: Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) là số nguyên.
c) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)
A. a) \(P={{2\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}. \)
b) \(x=0\) hoặc \(x=4.\)
c) \(0 < x < 4;\,\,x \ne 1. \)
B. a) \(P={{2\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}. \)
b) \(x=0\) hoặc \(x=4.\)
c) \(0 \le x < 4;\,\,x \ne 1. \)
C. a) \(P={{2\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}. \)
b) \(x=4.\)
c) \(0 \le x < 4;\,\,x \ne 1. \)
D. a) \(P={{2\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}. \)
b) \(x=4.\)
c) \(0 < x < 4;\,\,x \ne 1. \)
a) Tìm điều kiện xác định để biểu thức xác định.
Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn giá trị của biểu thức.
b) Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)
Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)
Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.
c) Giải bất phương trình \(P < 1,\) tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{2x - 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\)
b) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) là số nguyên.
ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)
Ta có: \(P = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x + 2 - 3}}{{\sqrt x + 1}} = 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \in Z \Leftrightarrow \left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 1}} \in Z\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0;\,\,x \ne 1} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1\\\sqrt x + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = 0\) hoặc \(x = 4\) thì \(P\) nguyên.
c) Tìm \(x\) để \(P < 1.\)
ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)
\(\begin{array}{l}P < 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x - 1 - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 1 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 2\\ \Leftrightarrow x < 4.\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(0 \le x < 4;\,\,x \ne 1\) thì \(P < 1.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com