Cho hàm số \( (P): \, y =\frac{1}{2}x^2 \). a) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm (2 ;-6)

Câu hỏi số 206522:

Vận dụng

Cho hàm số \( (P): \, y =\frac{1}{2}x^2 \).

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm (2 ;-6) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(2 ; 2).

A. a) \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) \( y = 2x – 2.\)

B. a) \( y = 6x – 18\)

b) \( y = 2x – 2.\)

C. a) \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) \( y = 2x + 2.\)

D. a) \( y = –2x – 2 \).

b) \( y = 2x + 2.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206522

Giải chi tiết

a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: \(y= ax+b\)

Đường thẳng d đi qua điểm \(\left( {2; - 6} \right) \Rightarrow 2a + b = - 6\,\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

\({1 \over 2}{x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 2b = 0\,\,\left( * \right)\)

Có: \(\Delta ' = {a^2} + 2b.\)

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\,\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow b = - {1 \over 2}{a^2}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Thế (2) vào (1) ta được:

\( 2a - {1 \over 2}{a^2} = - 6 \Leftrightarrow {a^2} - 4a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 6} \right)\left( {a + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 6 \hfill \cr a = - 2 \hfill \cr} \right..\)

+) Với \(a = 6 \Rightarrow b = - {1 \over 2}{.6^2} = - 18 \Rightarrow d:\,\,y = 6x - 18.\)

+) Với \(a = - 2 \Rightarrow b = - {1 \over 2}.{\left( { - 2} \right)^2} = - 2 \Rightarrow d:\,\,y = - 2x - 2. \)

Vậy có 2 đường thẳng d thỏa mãn bài toán: \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) Gọi tiếp tuyến cần tìm của đồ thị hàm số có dạng d:\(y= ax+b\)

Theo đề bài ta có d đi qua \(M\left( {2;2} \right) \Rightarrow 2a + b = 2\,\,\,\left( 1 \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

\({1 \over 2}{x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 2b = 0\,\,\left( * \right)\)

Có: \( \Delta ' = {a^2} + 2b. \)

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\,\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow b = - {1 \over 2}{a^2}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Thế (2) vào (1) ta được: \(2a - {1 \over 2}{a^2} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2.\)

+) Với \(a = 2 \Rightarrow b = - {1 \over 2}{.2^2} = - 2 \Rightarrow d:\,\,y = 2x - 2. \)

Vậy tiếp tuyến thỏa mãn bài toán có phương trình: \( y = 2x – 2.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link