Cho hàm số \( (P): \, y =\frac{1}{2}x^2 \). a) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm (2 ;-6)

Câu hỏi số 206522:

Vận dụng

Cho hàm số \( (P): \, y =\frac{1}{2}x^2 \).

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm (2 ;-6) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(2 ; 2).

A. a) \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) \( y = 2x – 2.\)

B. a) \( y = 6x – 18\)

b) \( y = 2x – 2.\)

C. a) \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) \( y = 2x + 2.\)

D. a) \( y = –2x – 2 \).

b) \( y = 2x + 2.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206522

Giải chi tiết

a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: \(y= ax+b\)

Đường thẳng d đi qua điểm \(\left( {2; - 6} \right) \Rightarrow 2a + b = - 6\,\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

\({1 \over 2}{x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 2b = 0\,\,\left( * \right)\)

Có: \(\Delta ' = {a^2} + 2b.\)

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\,\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow b = - {1 \over 2}{a^2}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Thế (2) vào (1) ta được:

\( 2a - {1 \over 2}{a^2} = - 6 \Leftrightarrow {a^2} - 4a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 6} \right)\left( {a + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ a = 6 \hfill \cr a = - 2 \hfill \cr} \right..\)

+) Với \(a = 6 \Rightarrow b = - {1 \over 2}{.6^2} = - 18 \Rightarrow d:\,\,y = 6x - 18.\)

+) Với \(a = - 2 \Rightarrow b = - {1 \over 2}.{\left( { - 2} \right)^2} = - 2 \Rightarrow d:\,\,y = - 2x - 2. \)

Vậy có 2 đường thẳng d thỏa mãn bài toán: \( y = 6x – 18\) và \( y = –2x – 2 \).

b) Gọi tiếp tuyến cần tìm của đồ thị hàm số có dạng d:\(y= ax+b\)

Theo đề bài ta có d đi qua \(M\left( {2;2} \right) \Rightarrow 2a + b = 2\,\,\,\left( 1 \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

\({1 \over 2}{x^2} = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 2b = 0\,\,\left( * \right)\)

Có: \( \Delta ' = {a^2} + 2b. \)

Đường thẳng d tiếp xúc với (P) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\,\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} + 2b = 0 \Leftrightarrow b = - {1 \over 2}{a^2}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Thế (2) vào (1) ta được: \(2a - {1 \over 2}{a^2} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 2.\)

+) Với \(a = 2 \Rightarrow b = - {1 \over 2}{.2^2} = - 2 \Rightarrow d:\,\,y = 2x - 2. \)

Vậy tiếp tuyến thỏa mãn bài toán có phương trình: \( y = 2x – 2.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link