Người ta muốn dùng vật liệu bằng tấm kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có

Câu hỏi số 209069:

Vận dụng

Người ta muốn dùng vật liệu bằng tấm kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao h và bán kính R của hình trụ theo V để ít tốn vật liệu nhất.

A. \(R = 2h = 2\sqrt {\dfrac{V}{{2\pi }}} \)

B. \(R = 2h = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

C. \(h = 2R = 2\sqrt {\dfrac{V}{{2\pi }}} \)

D. \(h = 2R = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209069

Giải chi tiết

Phương pháp: - Ta có bài toán tương đương sau:

“Trong các khối trụ có cùng thể tích thì hình trụ nào có diện tích toàn phần nhỏ nhất.”

Ta có \(\dfrac{S}{{2\pi }} = {R^2} + Rh = {R^2} + R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} = {R^2} + \dfrac{V}{{\pi R}} = {R^2} + \dfrac{V}{{2\pi R}} + \dfrac{V}{{2\pi R}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có

\({R^2} + \dfrac{V}{{2\pi R}} + \dfrac{V}{{2\pi R}} \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\)

Suy ra ta có

\(\dfrac{S}{{2\pi }} \geqslant 3\sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} \Leftrightarrow S \geqslant 6\pi \sqrt[3]{{\dfrac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \({R^2} = \dfrac{V}{{2\pi R}} \Leftrightarrow {R^2} = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{{2\pi R}} \Leftrightarrow {R^2} = \dfrac{{Rh}}{2} \Leftrightarrow R = \dfrac{h}{2} \Leftrightarrow 2R = h\).

Với \(2R = h\) ta có \(V = \pi {R^2}h = \pi {(\dfrac{h}{2})^2}.h = \dfrac{{\pi {h^3}}}{4} \Rightarrow h = \sqrt[3]{{\dfrac{{4V}}{\pi }}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

Vậy \(h = 2R = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\) .

Cách giải: Từ công thức \(V = \pi {R^2}h\), ta xét hai trường hợp:

Nếu\(R = 2h\), ta có \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\dfrac{R}{2} = \dfrac{{\pi {R^3}}}{2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{2V}}{\pi }}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{4\pi }}}}\)

Đáp án A, B loại.

Nếu \(h = 2R\), ta có \(V = \pi {R^2}h = \pi {(\dfrac{h}{2})^2}.h = \dfrac{{\pi {h^3}}}{4} \Rightarrow h = \sqrt[3]{{\dfrac{{4V}}{\pi }}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

Đáp án D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.