Giải hệ phương trình (x,y ∈ R)

Câu hỏi số 2102:

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{2}(1+y^{2})+y^{2}(1+x^{2})=4\sqrt{xy}\\x^{2}y\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+x^{2}}=x^{2}y-x\end{matrix}\right.$ (x,y ∈ R)

A. Nghiệm của hệ là x = y = -2

B. Nghiệm của hệ là x = y = 1

C. Nghiệm của hệ là x = y = 2

D. Nghiệm của hệ là x = y = -1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2102

Giải chi tiết

Điều kiện: xy ≥ 0

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

x - $\sqrt{1+x^{2}}$ = x²y(1 - $\sqrt{1+y^{2}}$ ) (1)

Rõ ràng x = 0 không thỏa mãn phương trình.

Mặt khác, vì x - $\sqrt{1+x^{2}}$ < 0 và 1 - $\sqrt{1+y^{2}}$ < 0 nên từ phương trình suy ra y > 0

Kết hợp điều kiện của hệ ta có x > 0.

Khi đó, phương trình (1) tương đương với

$\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{x}$ $\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$ = y - y $\sqrt{1+y^{2}}$ (2)

Xét hàm f(t)= t -t $\sqrt{1+t^{2}}$ trên (0;+∞ )

Ta có f'(t) =1- $\frac{t^{2}}{\sqrt{1+t^{2}}}$ - $\sqrt{1+t^{2}}$ < 0 vói mọi t ∈ (0;+∞ )

Suy ra hàm f nghịch biến trên (0;+∞ ). Do đó phương trình (2) tương đương với $\frac{1}{x}$ = y ⇔ xy=1. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có

x² (1 + $\frac{1}{x^{2}}$ ) + $\frac{1}{x^{2}}$ (1 + x² ) = 4 ⇔ x² + $\frac{1}{x^{2}}$ = 2 ⇔ x = ± 1.

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm x = y = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.