Hai chất điểm M và N dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song nhau và cùng

Câu hỏi số 211919:

Vận dụng cao

Hai chất điểm M và N dao động điều hoà dọc theo hai đường thẳng song song nhau và cùng ở sát với trục Ox coi như cùng gốc O. Phương trình dao động của chúng lần lượt là \({x_1} = {A_1}c{\rm{os}}\left( {\omega t + {\pi \over 3}} \right)\) (cm) và \({x_2} = {A_2}c{\rm{os}}\left( {\omega t - {\pi \over 6}} \right)\) (cm). Biết rằng \({{x_1^2} \over {36}} + {{x_2^2} \over {64}} = 1\). Tại thời điểm t nào đó, chất điểm M có li độ \({x_1} = - 3\sqrt 2 cm\) và vận tốc \({v_1} = 60\sqrt 2 cm/s\). Khi đó vận tốc tương đối giữa hai chất điểm có độ lớn bằng:

A. \({v_2} = 20\sqrt 3 cm/s\)

B. v₂ = 53,7 cm/s

C. v₂ = 233,4 cm/s

D. \({v_2} = 140\sqrt 2 cm/s\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211919

Phương pháp giải

Phương pháp : Biến đổi lượng giác và công thức đạo hàm

Giải chi tiết

Đáp án D

Phương trình dao động của hai chất điểm :

\(\left\{ \matrix{ {x_1} = {A_1}c{\rm{os}}(\omega t + {\pi \over 3}) \hfill \cr {x_2} = {A_2}c{\rm{os}}(\omega t - {\pi \over 6}) = {A_2}\sin (\omega t + {\pi \over 3}) \hfill \cr} \right. \Rightarrow {{x_1^2} \over {A_1^2}} + {{x_2^2} \over {A_2^2}} = 1\)

Theo bài ra:

\(\begin{gathered}
\frac{{x_1^2}}{{36}} + \frac{{x_2^2}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{x_1^2}}{{{6^2}}} + \frac{{x_2^2}}{{{8^2}}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{A_1} = 6cm \hfill \\
{A_2} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_1} = 6c{\text{os}}(\omega t + \frac{\pi }{3})\,\,cm \hfill \\
{x_2} = 8c{\text{os}}(\omega t - \frac{\pi }{6}) = 8\sin (\omega t + \frac{\pi }{3})\,\,cm \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \)

Tại thời điểm t có :

\(\left\{ \begin{gathered}
{x_1} = 6c{\text{os}}(\omega t + \frac{\pi }{3}) = - 3\sqrt 2 \hfill \\
{v_1} = - 6\omega \sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) = 60\sqrt 2 > 0 \hfill \\
{x_2} = 8c{\text{os}}(\omega t - \frac{\pi }{6}) = 8\sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \sin (\omega t + \frac{\pi }{3}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}{x_2} = - 4\sqrt 2 cm\)

Đạo hàm 2 vế của phương trình: \({{x_1^2} \over {36}} + {{x_2^2} \over {64}} = 1\) ta được:

\({{2{x_1}{v_1}} \over {36}} + {{2{x_2}{v_2}} \over {64}} = 0 \Leftrightarrow {{{x_1}{v_1}} \over {18}} = - {{{x_2}{v_2}} \over {32}} \Rightarrow {v_2} = - {{32{x_1}{v_1}} \over {18{x_2}}} = - {{32.\left( { - 3\sqrt 2 } \right)60\sqrt 2 } \over {18.\left( { - 4\sqrt 2 } \right)}} = - 80\sqrt 2 cm/s\)

Vận tốc tương đối giữa hai chất điểm có độ lớn bằng : \(\Delta v = \left| {{v_1} - {v_2}} \right| = \left| {60\sqrt 2 - \left( { - 80\sqrt 2 } \right)} \right| = 140\sqrt 2 cm/s\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.