Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, \(AB \bot CD\). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, \(AB \bot CD\). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD. Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và hình chóp có diện tích bằng bao nhiêu, biết IJ = 3IM.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Dựng thiết diện dựa vào các yếu tố song song có trong giả thiết.
- Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật giao đó tính diện tích hình chữ nhật đó.
Ta có: \(\left\{ \matrix{ M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ICD} \right) \hfill \cr CD\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr CD \subset \left( {ICD} \right) \hfill \cr} \right.\)suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và (ICD) là đường thẳng qua M và song song với CD cắt IC tại L và cắt ID tại N.
Tương tự \(\left\{ \matrix{ M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {JAB} \right) \hfill \cr AB\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr AB \subset \left( {JAB} \right) \hfill \cr} \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và (JAB) là đường thẳng qua M và song song AB cắt
JA tại P và cắt JB tại Q.
Ta có: \(\left\{ \matrix{ L \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) \hfill \cr AB\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với (ABC) là đường thẳng qua L song song với AB cắt BC tại E và cắt AC tại F. Do đó EF // AB (1).
Tương tự \(\left\{ \matrix{ N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) \hfill \cr AB\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và (ABD) là đường thẳng qua N song song với AB cắt BD tại H và cắt AD tại G.
Do đó HG // AB (2).
Từ (1) và (2) suy ra EF // HG // AB (*)
Ta có: \(\left\{ \matrix{ FG = \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) \hfill \cr CD\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr CD \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow FG\parallel CD\,\,\,\left( 3 \right)\).
Tương tự \(\left\{ \matrix{ EH = \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) \hfill \cr CD\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr CD \subset \left( {BCD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow EH\parallel CD\,\,\left( 4 \right).\)
Từ (*) và (**) suy ra EFGH là hình bình hành.
Mà \(AB \bot CD \Rightarrow EF \bot FG.\) Vậy thiết diện EFGH là hình chữ nhật
\( \Rightarrow {S_{EFGH}} = EF.FG = PQ.LN.\)
Trong tam giác JAB, ta có \({{PQ} \over {AB}} = {{JM} \over {JI}} = {2 \over 3} \Rightarrow PQ = {{2AB} \over 3} = {{2a} \over 3}.\)
Trong tam giác ICD ta có \({{LN} \over {CD}} = {{IM} \over {IJ}} = {1 \over 3} \Rightarrow LN = {{CD} \over 3} = {b \over 3}.\)
Vậy diện tích thiết diện là: \({S_{EFGH}} = {{2a} \over 3}.{b \over 3} = {{2ab} \over 9}.\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
