Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3x + 2m = 0\) có ba

Câu hỏi số 212789:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3x + 2m = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt.

A. \(m \in \left( { - 2;2} \right).\)

B. \(m \in \left( { - 1;1} \right).\)

C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

D. \(m \in \left( { - 2; + \infty } \right).\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212789

Phương pháp giải

Cách 1. Đưa về dạng \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x}}{2} = - m.\)

Tìm cực đại \(b\) và cực tiểu \(a\) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì \(a < - m < b.\)

Cách 2.Đưa phương trình đã cho về phương trình dạng \(f\left( x \right) = m.\) Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và dựa vào đồ thị để giải. Cụ thể trong bài này để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì đường thẳng \(y = - m\) phải cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}\) tại ba điểm.

Giải chi tiết

Để phương trình \({x^3} - 3x + 2m = 0\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \( - m = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}\) cần có ba nghiệm phân biệt. Đặt \(y = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}.\)

Cách 1. Khi đó điều kiện cần và đủ cho \( - m = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}\) có ba nghiệm phân biệt là \( - m \in \left( {a;b} \right)\) trong đó \(a,\,b\) tương ứng là giá trị cực tiểu và cực đại (địa phương) của \(y = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}.\)

Ta có \(y' = \frac{{3{x^2} - 3}}{2},\,y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)

Tính đạo hàm cấp 2. Ta có \(y'' = \frac{{6x}}{2} = 3x.\) Khi đó \(y''\left( { - 1} \right) = 3\left( { - 1} \right) = - 3 < 0\)

nên \(x = - 1\) là giá trị làm cho \(y\) đạt cực đại và giá trị cực đại là \(b = y\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3} - 3\left( { - 1} \right)}}{2} = 1.\)

Ta có \(y''\left( 1 \right) = 3.1 = 3 > 0\) nên \(x = 1\) là giá trị làm cho \(y\) đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là \(a = y\left( 1 \right) = \frac{{{1^3} - 3.1}}{2} = - 1.\)

Do đó \( - 1 < - m < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)

Cách 2. Vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3x}}{2}.\) để nhận được kết quả tương tự cách 1.

Chọn đáp án B.

Chú ý khi giải

Sai lầm:Lưu ý ở dạng bài này thì điều kiện \(a < - m < b\) được thỏa mãn với lần lượt là cực tiểu và cực đại của hàm số chứ không phải là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.