Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 1.\) Số các giá trị nguyên của

Câu hỏi số 212791:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 1.\) Số các giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là:

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(3\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212791

Phương pháp giải

Phương pháp. Hàm số đã cho là hàm chẵn nên nếu \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm \({-x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại. Do đó \({x_1} = - {x_1} \Rightarrow {x_1} = 0.\) Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm đạt cực đại tại \(x=0\) để suy ra điều kiện của \(m>1.\) Sử dụng điều kiện này để biện luận các điểm còn lại có đạt cực đại, cực tiểu hay không và kết luận được không tồn tại \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Giả sử \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số đạt cực đại. Khi đó ta có \(y\left( {{x_1}} \right) = \left( {m + 1} \right)x_1^4 - \left( {m - 1} \right)x_1^2 + 1 = \left( {m + 1} \right){\left( { - {x_1}} \right)^4} - \left( {m - 1} \right){\left( { - {x_1}} \right)^2} + 1 = y\left( { - {x_1}} \right).\)

Do đó nếu \({x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại thì ta cũng có điểm \({-x_1}\) là điểm làm cho hàm số nhận cực đại. Do hàm số chỉ có điểm cực đại nên \({x_1} = - {x_1} \Rightarrow {x_1} = 0.\)

Ta có \(y' = 4\left( {m + 1} \right){x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x,\,y' = 0 \Leftrightarrow 4\left( {m + 1} \right){x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {m - 1} \right) = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\)

Ta lại có \(y'' = 12\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right) \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 2\left( {m - 1} \right).\) Để \(x=0\) là điểm cực đại của hàm số thì ta cần \(y''\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow - 2\left( {m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 1.\) Khi đó phương trình \((1)\) có hai nghiệm là \({x_1} = - \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} .\)

Ta có \(y''\left( {{x_1}} \right) = 12\left( {m + 1} \right){\left( { - \sqrt {\frac{{m - 1}}{{2\left( {m + 1} \right)}}} } \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right) = 4\left( {m - 1} \right) > 0\) nên \({x_1}\) là điểm cực tiểu của hàm số. Như vậy với \(m>1\) thì hàm số đã cho có điểm cực tiểu. Do đó không tồn tại \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án B.

Chú ý khi giải

Sai lầm. Đối với bài toán này điểm quan trọng là suy ra \(x=0\) là điểm làm cho hàm đạt cực đại. Từ đó suy ra điều kiện cho \(m>1.\) Tuy nhiên ta không thể kết luận tại bước này. Sau khi tìm được điều kiện này ta cần kiểm tra lại với điều kiện \(m>1\) thì hàm số còn nhận điểm cực đại hay cực tiểu nào khác hay không?Một số học sinh sẽ bỏ qua bước này dẫn tới không chọn được đáp án đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.