Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt

Câu hỏi số 212824:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }}$ có hai tiệm cận đứng:

A. $m<0$

B. $m=0$

C. $\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \ne - 1.\end{array} \right.$

D. $m<1$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212824

Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng để giải. Cụ thể đối với hàm số $y = f\left( x \right)$ thì $x = a$ là tiệm cận đứng khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y$ nhận một trong các giá trị $- \infty , + \infty .$$

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Để hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }}$ có hai tiệm cận đứng thì ta cần tìm sao cho tồn tại ${x_0},\,{x_1}$ sao cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ - } y,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_1^ + } y$ nhận một trong hai giá trị $- \infty , + \infty .$$

Trường hợp 1. Nếu $m = 0.$ Khi đó $y = \frac{{x + 1}}{2}.$ Ta có $ - \infty \mathop { < \lim }\limits_{x \to a} y = \frac{{a + 1}}{2} < + \infty $ nên không có tiệm cận đứng nào.

Trường hợp 2.$m > 0.$ khi đó $ - \infty < \mathop {\lim }\limits_{x \to a} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }} = \frac{{a + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 4} }} < + \infty $ do đó trường hợp hàm số cũng không có tiệm cận đứng nào.

Trường hợp 3. Khi $m < 0.$ Ta viết lại $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + \frac{4}{m}} \right]} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }}.$

Nhìn vào biểu thức cuối ta dự đoán điểm ${x_0},{x_1}$ sẽ tương ứng là $1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }},1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}.$ Hơn nữa ta chú ý rằng biểu thức trong dấu căn cần dương nên ta phải có $\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }} < x < 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}.$

Xét giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }}.$

Nếu $ - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt { - m} }} = 2 \Leftrightarrow \sqrt { - m} = 1 \Leftrightarrow m = - 1.$ Thì giới hạn trên có dạng $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt { - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {1 - x} }} = 0$ do đó $x = - 1$ không là tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

Nếu $ - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne - 1.$ Khi đó ta chứng minh được $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }} = \infty .$ Do đó $x = 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}$ là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

Trường hợp $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }}.$ Ta có $1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }} \ne 1,\,\,\forall m < 0.$ Và hơn nữa ta chứng minh được $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m\left[ {\left( {x - 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)\left( {x - 1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)} \right]} }} = \infty .$ Do đó $x = 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }}$ là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Ta lại có $1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }} \ne 1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }},\,\,\forall m < 0.$ Vậy $1 + \frac{2}{{\sqrt { - m} }},\,1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}\,\,\left( {m < 0,m \ne - 1} \right)$ là hai tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Sai lầm: Học sinh có thể mắc sai lầm ở việc chứng minh hai tiệm cận là khác nhau. Hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ + }} y$ thì lại viết thành $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {1 - \frac{2}{{\sqrt { - m} }}} \right)}^ - }} y.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.