Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 212841:

Nhận biết

Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức

\(M=\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{x+3y+2z}+\frac{1}{2x+y+3z}\) là:

A. \(1\)

B. \(\frac{5}{3}\)

C. \(\frac{2}{3}\)

D. \(\frac{4}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212841

Phương pháp giải

- Phân tích đề: nhận thấy đề bài cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) nên cần làm cho \(M\) xuất hiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) bằng cách áp dụng phối hợp hai bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) và \(\frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \( \frac{1}{{a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\) với \(a = 3x,b = 2y + z\) ta có

\(\frac{1}{{3x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{{2y + z}}} \right)\,\,\left( 1 \right).\) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{{a + b + c}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\) với \(a = b = y,c = z\) ta nhận được

\(\frac{1}{{2y + z}} = \frac{1}{{y + y + z}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{y} + \frac{1}{z}} \right)\,\,\left( 2 \right).\) Từ (1) và (2) ta nhận được

\(\frac{1}{{3x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \right] = \frac{1}{{12}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{3y}} + \frac{1}{{3z}}} \right)\,.\) Chứng minh tương tự ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 3y + 2z}} \le \frac{1}{{12}}\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} + \frac{2}{{3z}}} \right)\\\,\frac{1}{{2x + y + 3z}} \le \frac{1}{{12}}\left( {\frac{2}{{3x}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{1}{z}} \right).\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(\begin{array}{l}M \le \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{3y}} + \frac{1}{{3z}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} + \frac{2}{{3z}}} \right) + \left( {\frac{2}{{3x}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{1}{z}} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{3x}} + \frac{2}{{3x}}} \right) + \left( {\frac{2}{{3y}} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3y}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3z}} + \frac{2}{{3z}} + \frac{1}{z}} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{{12}}\left( {\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}} \right) = \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{6}.4 = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{3}{4}.\)

Chọn đáp án C

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link