Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\left( x+\frac{1}{2x} \right)}}=5.\)

Câu 212848: Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\left( x+\frac{1}{2x} \right)}}=5.\)

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(\frac{1}{2}.\)

Câu hỏi : 212848

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}\,\left( * \right).\) Đưa phương trình đã cho về phương trình \(f\left( t \right)=a.\) Sử dụng tính đồng biến của hàm \(f\left( t \right)\) để tìm được nghiệm duy nhất của \(f\left( t \right)=a.\) Thay vào \(\left( * \right)\) và đưa về phương trình bậc hai sau đó áp dụng định lý Vi-et để tìm tích hai nghiệm.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}>0\Leftrightarrow x>0.\)

Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}.\)

Phương trình đã cho trở thành \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\)

Các hàm số \({{\log }_{2}}t,\,{{2}^{t}}\) là các hàm số đồng biến, hơn nữa \({{\log }_{2}}2+{{2}^{2}}=5\) do đó \(t=2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\)

Khi đó \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{x}^{2}}+1=4x \\& x\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\left( \Delta '={{2}^{2}}-2=2>0 \right).\) Áp dụng định lý Vi-et ta có tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án D.

Chú ý:
Sai lầm. Một sai lầm thông thường đối với dạng bài tập liên quan tới nghiệm phương trình là học sinh quên tìm điều kiện để phương trình có nghĩa. Đôi khi việc quên này sẽ dẫn tới việc tìm thừa nghiệm của phương trình.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.