Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}

Câu hỏi số 212848:

Vận dụng

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{\log }_{2}}\left( \frac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{\left( x+\frac{1}{2x} \right)}}=5.\)

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(\frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212848

Phương pháp giải

Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}\,\left( * \right).\) Đưa phương trình đã cho về phương trình \(f\left( t \right)=a.\) Sử dụng tính đồng biến của hàm \(f\left( t \right)\) để tìm được nghiệm duy nhất của \(f\left( t \right)=a.\) Thay vào \(\left( * \right)\) và đưa về phương trình bậc hai sau đó áp dụng định lý Vi-et để tìm tích hai nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}>0\Leftrightarrow x>0.\)

Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}.\)

Phương trình đã cho trở thành \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\)

Các hàm số \({{\log }_{2}}t,\,{{2}^{t}}\) là các hàm số đồng biến, hơn nữa \({{\log }_{2}}2+{{2}^{2}}=5\) do đó \(t=2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\)

Khi đó \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{x}^{2}}+1=4x \\& x\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0.\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\left( \Delta '={{2}^{2}}-2=2>0 \right).\) Áp dụng định lý Vi-et ta có tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án D.

Chú ý khi giải

Sai lầm. Một sai lầm thông thường đối với dạng bài tập liên quan tới nghiệm phương trình là học sinh quên tìm điều kiện để phương trình có nghĩa. Đôi khi việc quên này sẽ dẫn tới việc tìm thừa nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.