Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) cạnh bên bằng \(b.\) Tính thể tích khối

Câu hỏi số 212888:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) cạnh bên bằng \(b.\) Tính thể tích khối cầu đi qua các đỉnh của hình lăng trụ.

A. \(\frac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

B. \(\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

C. \(\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

D. \(\frac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212888

Phương pháp giải

Xác định tâm \(O\) của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Áp dụng giả thiết và định lý Py-ta-go để tính bán kính \(R\) mặt cầu này.

Sau đó áp dụng công thức thể tích của mặt cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\) để tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC,\)

Khi đó tâm \(O\) mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều

thuộc đường thẳng đi qua \(E\) và vuông góc với mặt \(\left( ABC \right).\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AA'\) khi đó \(O\) thuộc đường thẳng

qua \(H\) và vuông góc với \(AA'.\)

Từ đó \(AEOH\) là hình chữ nhật và \(AO=R\) là bán kính

mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều.

Trong tam giác đều \(ABC\) ta tính được \(AE=\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{\sqrt{3}a}{3}\,\,.\) Do \(H\) là trung điểm của \(AA'\) nên \(AH=\frac{b}{2}\,\,.\)

\(\Delta AEO\) vuông tại \(E\) nên áp dụng định lý Py-ta-go ta nhận được

\(AO=\sqrt{A{{E}^{2}}+E{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{\sqrt{3}a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}\,\,\left( 1 \right).\)

Thể tích của mặt cầu cần tính là

\(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}} \right)}^{3}}=\frac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.