Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\frac{1+i}{z}\) là số thực và \(\left| z-2 \right|=m\) với \(m\in

Câu hỏi số 213332:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\frac{1+i}{z}\) là số thực và \(\left| z-2 \right|=m\) với \(m\in \mathbb{R}.\)

Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của \(m\) để có đúng một số phức thỏa mãn bài toán. Khi đó

A. \({{m}_{0}}\in \left( 0;\frac{1}{2} \right).\)

B. \({{m}_{0}}\in \left( \frac{1}{2};1 \right).\)

C. \({{m}_{0}}\in \left( \frac{3}{2};2 \right).\)

D. \({{m}_{0}}\in \left( 1;\frac{3}{2} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213332

Phương pháp giải

Phương pháp. Sử dụng giả thiết để tìm được \(z=a+ai\,\,\left( a\in \mathbb{R} \right).\) Thay vào \(\left| z-2 \right|={{m}_{0}})\) và sử dụng yêu cầu bài toán để biện luận và tìm giá trị của \({{m}_{0}}.\)

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Giả sử \(z=a+bi\,\left( a,b\in R,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \right).\)

Khi đó ta có \(\frac{1+i}{a+bi}=\frac{\left( 1+i \right)\left( a-bi \right)}{\left( a+bi \right)\left( a-bi \right)}=\frac{\left( a+b \right)+i\left( a-b \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\in R\Rightarrow \frac{a-b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Rightarrow a=b\Rightarrow z=a+ai.\)

Thay vào \(\left| z-2 \right|={{m}_{0}}.\)

Ta nhận được

\(\begin{array}{l}\,\,\,{m_0} = \left| {\left( {a + ai} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {a^2}} = \sqrt {2\left( {{a^2} - 2a + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m_0} > 0\\2{a^2} - 4a + 4 - m_0^2 = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\end{array}\)

Để có đúng một nghiệm phức thỏa mãn bài toán thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có duy nhất một nghiệm \(a.\)

Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) phải thỏa mãn \(\Delta '={{2}^{2}}-2\left( 4-m_{0}^{2} \right)=0\Leftrightarrow 2m_{0}^{2}-4=0\Leftrightarrow {{m}_{0}}=\pm \sqrt{2}.\)

Kết hợp với điều kiện \({{m}_{0}}>0\) ta suy ra giá trị cần tìm là \({{m}_{0}}=\sqrt{2}\in \left( 1;\frac{3}{2} \right).\)

Chọn đáp án D.

Chú ý khi giải

Sai lầm. Một bộ phận nhỏ học sinh vẫn có thể quên đưa ra điều kiện \({{m}_{0}}>0\) nên hai nghiệm là \({{m}_{0}}=\pm \sqrt{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.