Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 5\\{x^3} + {y^3} = 9\end{array} \right.\) Xác

Câu hỏi số 214420:

Thông hiểu

Cho hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 5\\{x^3} + {y^3} = 9\end{array} \right.\)

Xác định số nghiệm nguyên của hệ phương trình?

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214420

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \\ & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{\left( x+y \right)}^{3}}-3xy\left( x+y \right) \\ \end{align} \right.\)

Sau đó đặt \(\left\{ \begin{align}& x+y=u \\ & xy=v \\ \end{align}\right.\) thay vào ta được hệ phương trình với ẩn \(u,v\) rút \(v\) theo \(u\) từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) để giải.

Kết hợp với yêu cầu đề bài tìm nghiệm nguyên để tìm ra kết quả.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 5\\{x^3} + {y^3} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) = 9\end{array} \right.\)

Đặt:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\xy = v\end{array} \right.\left( {{u^2} \ge 4v} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 2v = 5\\{u^3} - 3uv = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{{{u^2} - 5}}{2}\\{u^3} - 3u\frac{{{u^2} - 5}}{2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{{{u^2} - 5}}{2}\\{u^3} - 15u + 18 = 0\end{array} \right.(*)\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì hệ phương trình (*) có nghiệm nguyên

\(\Rightarrow \) Phương trình \({{u}^{3}}-15u+18=0\) có nghiệm nguyên

Mặt khác \({{u}^{3}}-15u+18=0\Leftrightarrow \left( u-3 \right)\left( {{u}^{2}}+3u-6 \right)=0\) phương trình \({{u}^{2}}+3u-6=0\) không có nghiệm nguyên nên hệ phương trình (*) chỉ có nghiệm nguyên

\(\left\{ \begin{align} & u=3 \\ & v=2 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó,ta được: \(\left\{ \begin{align} & x+y=3 \\ & xy=2 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({{T}^{2}}-3T+2=0\Rightarrow \)

\( \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link