Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ & x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m \\

Câu hỏi số 214470:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ & x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m \\ \end{align} \right.\). Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) là số nguyên

A. \(m=\frac{1}{4}\)

B. \(m=\frac{1}{6}\)

C. \(m=\frac{1}{8}\)

D. \(m=0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214470

Phương pháp giải

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}=a \\ & \sqrt{y}=b \\ \end{align} \right.\left( a,b\ge 0 \right)\) ta được hệ phương trình đối xứng loại 1

Phân tích phương trình (2) theo hằng đẳng thức \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)\) để giải ra giá trị \(S=(a+b)\) và \(P=ab\)

Khi đó \(a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-ST+P=0\)

Giải và biện luận phương trình trên theo tham số \(m\) để có nghiệm \((x,y)\) là số nguyên

Giải chi tiết

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}=a \\ & \sqrt{y}=b \\ \end{align} \right.\left( a,b\ge 0 \right)\) ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{a^3} + {b^3} = 1 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 1 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\ab = m\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-T+m=0\) (*)

Để phương trình (*) có \(2\) nghiệm không âm thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4m \ge 0\\1 \ge 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y)\) là số nguyên thì phương trình (*) có nghiệm nguyên (do \(S=1\) là số nguyên)

Phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ \(\Leftrightarrow \Delta \) là số chính phương

Mà \(\Delta =1-4m\left( 0\le m\le \frac{1}{4} \right)\Rightarrow \frac{1}{4}\le m\le 1\Rightarrow \Delta \) chính phương \(\Leftrightarrow \Delta =1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link