Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ & x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m \\

Câu hỏi số 214470:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \\ & x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m \\ \end{align} \right.\). Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \((x;y)\) là số nguyên

A. \(m=\frac{1}{4}\)

B. \(m=\frac{1}{6}\)

C. \(m=\frac{1}{8}\)

D. \(m=0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214470

Phương pháp giải

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}=a \\ & \sqrt{y}=b \\ \end{align} \right.\left( a,b\ge 0 \right)\) ta được hệ phương trình đối xứng loại 1

Phân tích phương trình (2) theo hằng đẳng thức \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)\) để giải ra giá trị \(S=(a+b)\) và \(P=ab\)

Khi đó \(a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-ST+P=0\)

Giải và biện luận phương trình trên theo tham số \(m\) để có nghiệm \((x,y)\) là số nguyên

Giải chi tiết

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}=a \\ & \sqrt{y}=b \\ \end{align} \right.\left( a,b\ge 0 \right)\) ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{a^3} + {b^3} = 1 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 1 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\ab = m\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-T+m=0\) (*)

Để phương trình (*) có \(2\) nghiệm không âm thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4m \ge 0\\1 \ge 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y)\) là số nguyên thì phương trình (*) có nghiệm nguyên (do \(S=1\) là số nguyên)

Phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ \(\Leftrightarrow \Delta \) là số chính phương

Mà \(\Delta =1-4m\left( 0\le m\le \frac{1}{4} \right)\Rightarrow \frac{1}{4}\le m\le 1\Rightarrow \Delta \) chính phương \(\Leftrightarrow \Delta =1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link