Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y=8 \\ & xy(x+4)(y+4)=m \\

Câu hỏi số 214476:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y=8 \\ & xy(x+4)(y+4)=m \\ \end{align} \right.\). Giá trị của \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm \((x;y)\in R\) là:

A. \(m\in \left( -48;16 \right)\)

B. \(m\le 16\)

C. \(m\in \left[ -48;16 \right]\)

D. \(m\ge -48\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214476

Phương pháp giải

Phương pháp giải: Đặt \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+4x=u \\ & {{y}^{2}}+4y=v \\ \end{align} \right.\left( u,v\ge -4 \right)\) sau đó ta biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình đối xứng loại 1 với ẩn \(u;v\) rút ẩn này theo ẩn còn lại từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) để biện luận giải.

Giải chi tiết

Cách làm:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 4y = 8\\xy(x + 4)(y + 4) = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} + 4x} \right) + \left( {{y^2} + 4y} \right) = 8\\\left( {{x^2} + 4x} \right).\left( {{y^2} + 4y} \right) = m\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+4x=u \\ & {{y}^{2}}+4y=v \\ \end{align} \right.\left( u,v\ge -4 \right)\) thì hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{align} & u+v=8 \\ & uv=m \\ \end{align} \right.\Rightarrow u,v\) là hai nghiệm của phương trình \({{t}^{2}}-8t+m=0\left( * \right)\).

Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có hai nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\) thỏa mãn \(-4\le {{t}_{1}}\le {{t}_{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\\frac{S}{2} \ge - 4\\a.f\left( { - 4} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - m \ge 0\\\frac{8}{2} \ge - 4\\{\left( { - 4} \right)^2} - 8.\left( { - 4} \right) + m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 16\\m \ge - 48\end{array} \right. \Leftrightarrow - 48 \le m \le 16\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link