Định m để phương trình \(m{{\sin }^{2}}2x-\left( 2m-3 \right)\sin 2x-3\left( m-1 \right)=0,\) có nghiệm thỏa mãn \(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\)

Câu 214955: Định m để phương trình \(m{{\sin }^{2}}2x-\left( 2m-3 \right)\sin 2x-3\left( m-1 \right)=0,\) có nghiệm thỏa mãn \(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\)

A. Mọi giá trị của m

B. \(\left( 1;\frac{3}{2} \right)\cup \left\{ 0 \right\}\)

C. \(\left[ \frac{3}{4};\frac{3}{2} \right]\)

D. \(\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}} \right) \cup \left\{ 0 \right\}\)

Câu hỏi : 214955

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp khi m = 0 và \(m\ne 0\)

- Khi m = 0 thì phương trình là phương trình cơ bản của sin2x. Biện luận để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

- Khi \(m\ne 0\) thì phương trình là phương trình bậc hai của sin2x. Đặt sin2x = t, lưu ý điều kiện của t sau đó biện luận để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án : D
(25) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Trường hợp 1: m = 0.

Khi đó phương trình có dạng \(3\sin 2x+3=0\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Rightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

\(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi }{2}<-\frac{\pi }{4}+k\pi <\frac{\pi }{2}\left( k\in Z \right)\Leftrightarrow -\frac{1}{4}<k<\frac{3}{4}\left( k\in Z \right)\Rightarrow k=0\)

Do đó phương trình có nghiệm \(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\) khi m = 0.

Trường hợp 2: \(m\ne 0\).

Khi đó phương trình có dạng \(m{{\sin }^{2}}2x-\left( 2m-3 \right)\sin 2x-3\left( m-1 \right)=0\).

Đặt sin2x = t

\( - \frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \pi < 2x < \pi \Leftrightarrow - 1 < \sin 2x < 1 \Leftrightarrow t \in \left( { - 1;1} \right),\) khi đó phương trình có dạng:

\(\begin{array}{l}
m{t^2} - \left( {2m - 3} \right)t - 3\left( {m - 1} \right) = 0\,\,\left( {t \in \left( { - 1;1} \right)} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left[ {mt - 3\left( {m - 1} \right)} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1 \notin \left( {0;1} \right)\\
t = \frac{{3m - 3}}{m}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3m - 3}}{m} \in \left( { - 1;1} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3m - 3}}{m} > - 1\\
\frac{{3m - 3}}{m} < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3m - 3 + m}}{m} > 0\\
\frac{{3m - 3 - m}}{m} < 0
\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{3}{4}\\
m < 0
\end{array} \right.\\
0 < m < \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{3}{4} < m < \frac{3}{2}
\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.