Cho n là một số nguyên dương. Gọi \({a_{3n - 3}}\) là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển

Câu hỏi số 216616:

Vận dụng cao

Cho n là một số nguyên dương. Gọi \({a_{3n - 3}}\) là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n}.\) Tìm n sao cho \({a_{3n - 3}} = 26n.\)

A. n = 10

B. n = 3

C. n = 4

D. n = 5

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Sử dụng nhị thức Newton khai triển \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}{2^{n - i}}} } \right)\)

Muốn tìm số hạng chứa \({x^{3n - 3}}\) ta phải tìm cặp (k, i) sao cho \(2k + i = 3n - 3\)

Giải chi tiết

Theo công thức khai triển của nhị thức Newton ta có:

\({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{\left( {x + 2} \right)^n} = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}{2^{n - i}}} } \right) = \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{2k}}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 0}^n {{2^{n - i}}C_n^i{x^i}} } \right)\)

Số hạng chứa \({x^{3n - 3}}\) tương ứng với cặp (k, i) thỏa mãn \(\left\{ \matrix{ 2k + i = 3n - 3 \hfill \cr 0 \le k,i \le n \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ \left( {k;i} \right) = \left( {n - 1;n - 1} \right) \hfill \cr \left( {k;i} \right) = \left( {n;n - 3} \right) \hfill \cr} \right.\)

Do đó hệ số của \({x^{3n - 3}}\) là: \({a_{3n - 3}} = C_n^{n - 1}{.2^1}C_n^{n - 1} + C_n^n{.2^3}C_n^{n - 3} = 2{n^2} + 8C_n^3\)

\(\eqalign{ & {a_{3n - 3}} = 26n \Leftrightarrow 2{n^2} + 8C_n^3 = 26n \Leftrightarrow 2{n^2} + 8{{n!} \over {3!\left( {n - 3} \right)!}} = 26n \cr & \Leftrightarrow 2{n^2} + {4 \over 3}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) - 26n = 0 \cr & \Leftrightarrow n\left( {2n + {4 \over 3}{n^2} - 4n + {8 \over 3} - 26} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ n = 0\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr n = 5\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr n = - {7 \over 2}\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy n = 5.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:216616

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.