Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và

Câu hỏi số 216999:

Nhận biết

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B). Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O và I là trung điểm của AD.

a) Chứng minh BC.BD = 4R².

b) Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

c) Từ C kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), BI cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm của CH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216999

Phương pháp giải

Phương pháp:

Câu a: Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác để chứng minh tam giác ABC vuông. Hoặc sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh điều cần chứng minh.

Câu b: Chứng minh đường một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ta cần chứng minh: đường thẳng đó tiếp xúc với đường tròn và vuông góc với bán kính của đường tròn tại điểm đó.

Giải chi tiết

a, Xét \(\Delta \) ABC có \(OA=OB=OC=\frac{1}{2}AB.\)

\(\Rightarrow \Delta\) ABC vuông tại \(C\) \(\Rightarrow AC\bot BC.\)

Ta có AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O nên AD \(\bot \) AB.

Trong \(\Delta \) ABD vuông tại A có \(AC\bot BD\Rightarrow BC.BD=A{{B}^{2}}.\)

Mà AB = 2R nên \(BC.BD=4{{R}^{2}}.\)

b, Tam giác ACD vuông tại C có I là trung điểm của AD

\(\Rightarrow AI=DI=CI=\frac{1}{2}AD.\) (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác AOI và COI có

OI chung

OA = OC

AI = CI

\(\Rightarrow \Delta AOI=\Delta COI\,\,\,\left( c-c-c \right).\) \(\Rightarrow \widehat{IAO}=\widehat{ICO}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat{IAO}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{ICO}={{90}^{0}}\) hay IC \(\bot \)OC

\(\Rightarrow \)IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

c, Ta có AD//CH (cùng vuông góc với AB)

Trong tam giác BAI có KH // AI \(\Rightarrow \frac{KH}{AI}=\frac{BK}{BI}\) (định lý Ta-lét).

Trong tam giác BDI có CK // DI \(\Rightarrow \frac{CK}{DI}=\frac{BK}{BI}\) (định lý Ta-lét).

Suy ra \(\frac{KH}{AI}=\frac{CK}{DI}.\)

Mà AI = DI nên KH = CK hay K là trung điểm của CH. (điều phải chứng minh).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link