Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác \(\Delta ABC.\) Giả sử rằng
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3.\) Khi đó
Câu 217669: Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác \(\Delta ABC.\) Giả sử rằng
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3.\) Khi đó
A. \(\Delta ABC\) vuông
B. \(\Delta ABC\) cân
C. \(\Delta ABC\) vuông cân
D. \(\Delta ABC\) đều
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{a}{b+c-a},\frac{b}{c+a-b},\frac{c}{a+b-c}\).
Sau đó áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng để chứng minh
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\) rồi dùng điều kiện dấu đẳng thức xảy ra.
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Lời giải chi tiết.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{a}{b+c-a},\frac{b}{c+a-b},\frac{c}{a+b-c}\) ta nhận được
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\sqrt(3){\frac{a}{b+c-a}\frac{b}{c+a-b}\frac{c}{a+b-c}}=3\sqrt(3){\frac{abc}{\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).\)
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta có
\(\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\le {{\left( \frac{\left( a+b-c \right)+\left( c+a-b \right)}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}.\)
Tương tự ta có \(\left\{ \begin{align} & \left( b+c-a \right)\left( a+b-c \right)\le {{b}^{2}} \\ & \left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\le {{c}^{2}} \\ \end{align} \right..\)
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,{{\left( \left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right) \right)}^{2}}\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)\le abc \\ & \Leftrightarrow \frac{abc}{\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}\ge 1\,\,\left( 2 \right). \\ \end{align}\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3.\)
Do đó \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & b+c-a=a+b-c \\ & b+c-a=c+a-b \\ & a+b-c=c+a-b \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.\)
Tức \(\Delta ABC\) là tam giác đều.
Chọn đáp án D.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com