Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác \(\Delta ABC.\) Giả sử

Câu hỏi số 217669:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của tam giác \(\Delta ABC.\) Giả sử rằng

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3.\) Khi đó

A. \(\Delta ABC\) vuông

B. \(\Delta ABC\) cân

C. \(\Delta ABC\) vuông cân

D. \(\Delta ABC\) đều

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217669

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{a}{b+c-a},\frac{b}{c+a-b},\frac{c}{a+b-c}\).

Sau đó áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng để chứng minh

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\) rồi dùng điều kiện dấu đẳng thức xảy ra.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{a}{b+c-a},\frac{b}{c+a-b},\frac{c}{a+b-c}\) ta nhận được

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\sqrt(3){\frac{a}{b+c-a}\frac{b}{c+a-b}\frac{c}{a+b-c}}=3\sqrt(3){\frac{abc}{\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).\)

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta có

\(\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\le {{\left( \frac{\left( a+b-c \right)+\left( c+a-b \right)}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}.\)

Tương tự ta có \(\left\{ \begin{align} & \left( b+c-a \right)\left( a+b-c \right)\le {{b}^{2}} \\ & \left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\le {{c}^{2}} \\ \end{align} \right..\)

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,{{\left( \left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right) \right)}^{2}}\le {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)\le abc \\ & \Leftrightarrow \frac{abc}{\left( a+b-c \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}\ge 1\,\,\left( 2 \right). \\ \end{align}\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3.\)

Do đó \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & b+c-a=a+b-c \\ & b+c-a=c+a-b \\ & a+b-c=c+a-b \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.\)

Tức \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link