Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\).

Câu hỏi số 217838:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \(\int\limits_0^1 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx} = \frac{2}{3}\)

B. \(\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = 2.\)

C. \(\int\limits_0^1 {x.f\left( {{x^2}} \right)dx} = 1\).

D. A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217838

Phương pháp giải

Sử dụng công thức vi phân \(du = u'dx\) , áp dụng ta có: \(f\left( {1 - x} \right)dx = - f\left( {1 - x} \right)d\left( {1 - x} \right);\,\,xf\left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right)\), lưu ý rằng \(f\left( x \right)dx = f\left( u \right)dx = f\left( v \right)dv = ...\) và đổi cận.

Giải chi tiết

Dựa vào các đáp án, ta thấy rằng

\(\int\limits_0^1 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{2}{3}\)

\(\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)\,{\rm{d}}x} = - \int\limits_1^0 {f\left( {1 - x} \right)\,{\rm{d}}\left( {1 - x} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.\)

\(\int\limits_0^1 {x.f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x} = {1 \over 2}.\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}\left( {{x^2}} \right)} = {1 \over 2}.\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.