Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} =

Câu hỏi số 218512:

Vận dụng

Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 14\) là:

A. 2

B. -2

C. 4

D. -4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218512

Phương pháp giải

Nhận xét: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = {1 \over {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}}\). Đặt ẩn phụ \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = {1 \over {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} = \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}},\) khi đó phương trình có dạng \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} = 14.\)

Đặt \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right),\) phương trình trở thành \(\eqalign{ & t + {t^{ - 1}} = 14 \Leftrightarrow t + {1 \over t} = 14 \Leftrightarrow {t^2} - 14t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {t_1} = 7 + 4\sqrt 3 = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \hfill \cr {t_2} = 7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} \hfill \cr {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_1} = 2 \hfill \cr {x_2} = - 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} = - 4. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.