Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=4\). Biết tập hợp biểu diễn các số phức \(w=\left(

Câu hỏi số 218639:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=4\). Biết tập hợp biểu diễn các số phức \(w=\left( 3+4i \right)z+i\) là một đường tròn. Tìm bán kính \(R\)

của đường tròn đó.

A. \(R=20\)

B. \(R=2\)

C. \(R=4\)

D. \(R=25\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218639

Phương pháp giải

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức \(z=x+yi\)có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)

Bước 2: Thay zvào đề bài \(\Rightarrow \)Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: \(Ax+By+C=0.\)

+) Đường tròn: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.\)

+) Parabol: \(y=a.{{x}^{2}}+bx+c\)

+) Elip: \(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1\)

Giải chi tiết

Giả sử \(w=a+bi\) . Ta có

\(\begin{array}{l}w = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + (b - 1)i = (3 + 4i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{a + (b - 1)i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left[ {a + (b - 1)i} \right](3 - 4i)}}{{25}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{1}{{25}}[3a + 4b - 4 + ( - 4a + 3b - 3)i]\end{array}\)

Theo giả thiết cho \(\left| z \right|=4\) nên ta có

\(\frac{1}{{{25}^{2}}}\left[ {{\left( 3a+4b-4 \right)}^{2}}+{{\left( -4a+3b-3 \right)}^{2}} \right]={{4}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(-4a+3b-3)}^{2}}={{100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}+25-50b={{100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1={{20}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}={{20}^{2}}\)

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính bằng \(20\) .

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.