Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=4\). Biết tập hợp biểu diễn các số phức \(w=\left( 3+4i \right)z+i\) là một đường tròn. Tìm bán kính \(R\)

của đường tròn đó.

Câu 218639: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=4\). Biết tập hợp biểu diễn các số phức \(w=\left( 3+4i \right)z+i\) là một đường tròn. Tìm bán kính \(R\)

của đường tròn đó.

A. \(R=20\)

B. \(R=2\)

C. \(R=4\)

D. \(R=25\)

Câu hỏi : 218639

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Bước 1: Gọi số phức \(z=x+yi\)có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)

Bước 2: Thay zvào đề bài \(\Rightarrow \)Sinh ra một phương trình:

+) Đường thẳng: \(Ax+By+C=0.\)

+) Đường tròn: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0.\)

+) Parabol: \(y=a.{{x}^{2}}+bx+c\)

+) Elip: \(\frac{{{x}^{2}}}{a}+\frac{{{y}^{2}}}{b}=1\)

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(w=a+bi\) . Ta có

\(\begin{array}{l}w = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (3 + 4i)z + i \Leftrightarrow a + (b - 1)i = (3 + 4i)z\\ \Leftrightarrow z = \frac{{a + (b - 1)i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{\left[ {a + (b - 1)i} \right](3 - 4i)}}{{25}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{1}{{25}}[3a + 4b - 4 + ( - 4a + 3b - 3)i]\end{array}\)

Theo giả thiết cho \(\left| z \right|=4\) nên ta có

\(\frac{1}{{{25}^{2}}}\left[ {{\left( 3a+4b-4 \right)}^{2}}+{{\left( -4a+3b-3 \right)}^{2}} \right]={{4}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{(3a+4b-4)}^{2}}+{{(-4a+3b-3)}^{2}}={{100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}+25-50b={{100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1={{20}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}={{20}^{2}}\)

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính bằng \(20\) .

Chọn A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.