Tìm hàm số F(x) của \(f\left( x \right) = {{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}\) biết F(0) = 1.

Câu hỏi số 218767:

Vận dụng

A. \(F\left( x \right) = {{{2^x} + \ln 2 - 1} \over {{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\)

B. \(F\left( x \right) = {1 \over {\ln 2 - 1}}{\left( {{2 \over e}} \right)^x} + {\left( {{1 \over e}} \right)^x} - {1 \over {\ln 2 - 1}}\)

C. \(F\left( x \right) = {{{2^x} + \ln 2} \over {{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\)

D. \(F\left( x \right) = {\left( {{2 \over e}} \right)^x}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218767

Phương pháp giải

Tách nguyên hàm ban đầu thành \(F\left( x \right) = \int {{{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} .\)

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt \(\left\{ \matrix{ u = {2^x} \hfill \cr dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right.\), lưu ý đây là nguyên hàm quay đầu.

Giải chi tiết

\(F\left( x \right) = \int {{{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.\)

Đặt

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ u = {2^x} \hfill \cr dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {2^x}\ln 2dx \hfill \cr v = - {e^{ - x}} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow I = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2\int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {C_2} = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2.I + {C_2} \Leftrightarrow \left( {\ln 2 - 1} \right)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = {{{2^x}{e^{ - x}}} \over {\ln 2 - 1}} + {C_2}. \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = {{{2^x}{e^{ - x}}} \over {\ln 2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = {{{2^x}} \over {\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + {1 \over {{e^x}}} + C \cr & \Rightarrow F\left( 0 \right) = {1 \over {\ln 2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C = - {1 \over {\ln 2 - 1}} \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = {{{2^x}} \over {\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + {1 \over {{e^x}}} - {1 \over {\ln 2 - 1}} = {1 \over {\ln 2 - 1}}{\left( {{2 \over e}} \right)^x} + {\left( {{1 \over e}} \right)^x} - {1 \over {\ln 2 - 1}}. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.