Nguyên hàm của hàm số \(y = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {x + {e^{ - x}}}}dx} \) là:

Câu hỏi số 218773:

Vận dụng cao

A. \(F\left( x \right) = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\)

B. \(F\left( x \right) = {e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\)

C. \(F\left( x \right) = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^{ - x}} + 1} \right| + C\)

D. \(F\left( x \right) = x{e^x} + 1 + \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218773

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu, biến đổi biểu thức, ta có nhận xét \(\left( {x{e^x} + 1} \right)' = \left( {x + 1} \right){e^x}\) nên đặt \(\left\{ \matrix{ u = x{e^x} \hfill \cr dv = {{\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {x + {e^{ - x}}}}dx} = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {{{x{e^x} + 1} \over {{e^x}}}}}dx} = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}} \over {x{e^x} + 1}}dx} = \int {{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx} .\)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x{e^x} \hfill \cr dv = {{\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx = {{d\left( {x{e^x} + 1} \right)} \over {x{e^x} + 1}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx \hfill \cr v = \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| \hfill \cr} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx} + C.\)

Đặt

\(\eqalign{ & t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx \Rightarrow \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = \int {\ln \left| t \right|dt} \cr & \left\{ \matrix{ u = \ln \left| t \right| \hfill \cr dv = dt \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over t}dt \hfill \cr v = t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int {\ln \left| t \right|dt} = \ln \left| t \right|.t - \int {dt} + C = \ln \left| t \right|.t - t + C = \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C. \cr} \)

Vậy \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.