Nguyên hàm của hàm số \(y = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {x + {e^{ - x}}}}dx} \) là:
Câu 218773: Nguyên hàm của hàm số \(y = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {x + {e^{ - x}}}}dx} \) là:
A. \(F\left( x \right) = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\)
B. \(F\left( x \right) = {e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\)
C. \(F\left( x \right) = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^{ - x}} + 1} \right| + C\)
D. \(F\left( x \right) = x{e^x} + 1 + \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\)
Quảng cáo
Quy đồng mẫu, biến đổi biểu thức, ta có nhận xét \(\left( {x{e^x} + 1} \right)' = \left( {x + 1} \right){e^x}\) nên đặt \(\left\{ \matrix{ u = x{e^x} \hfill \cr dv = {{\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx \hfill \cr} \right.\)
-
Đáp án : A(11) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(I = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {x + {e^{ - x}}}}dx} = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {{{x{e^x} + 1} \over {{e^x}}}}}dx} = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}} \over {x{e^x} + 1}}dx} = \int {{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx} .\)
Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x{e^x} \hfill \cr dv = {{\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx = {{d\left( {x{e^x} + 1} \right)} \over {x{e^x} + 1}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx \hfill \cr v = \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| \hfill \cr} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx} + C.\)
Đặt
\(\eqalign{ & t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx \Rightarrow \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx} = \int {\ln \left| t \right|dt} \cr & \left\{ \matrix{ u = \ln \left| t \right| \hfill \cr dv = dt \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over t}dt \hfill \cr v = t \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int {\ln \left| t \right|dt} = \ln \left| t \right|.t - \int {dt} + C = \ln \left| t \right|.t - t + C = \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C. \cr} \)
Vậy \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com