Tính \(\int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} \)?

Câu hỏi số 218774:

Vận dụng cao

A. \({x \over {{x^2} + 1}} + C\)

B. \({{2x} \over {{x^2} + 1}} + C\)

C. \({{ - x} \over {{x^2} + 1}} + C\)

D. \({{ - 2x} \over {{x^2} + 1}} + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218774

Phương pháp giải

Nhận xét \({{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} .\)

Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có: \({{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)\)

Ta tính \(\int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \) bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - {1 \over {{x^2} + 1}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = - {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} + C\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = - {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} + C - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} = - {x \over {{x^2} + 1}} + C.\)

Chú ý khi giải

Ta không thể chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\) do x = 0 vẫn thuộc vào tập xác định của hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.