Tính \(\int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} \)?

Câu hỏi số 218774:

Vận dụng cao

A. \({x \over {{x^2} + 1}} + C\)

B. \({{2x} \over {{x^2} + 1}} + C\)

C. \({{ - x} \over {{x^2} + 1}} + C\)

D. \({{ - 2x} \over {{x^2} + 1}} + C\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218774

Phương pháp giải

Nhận xét \({{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} .\)

Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có: \({{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - {1 \over {{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)\)

Ta tính \(\int {{{2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \) bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {{d\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - {1 \over {{x^2} + 1}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \int {{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} = - {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} + C\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\int {{{{x^2} - 1} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} = - {x \over {{x^2} + 1}} + \int {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} + C - \int {{1 \over {{x^2} + 1}}dx} = - {x \over {{x^2} + 1}} + C.\)

Chú ý khi giải

Ta không thể chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\) do x = 0 vẫn thuộc vào tập xác định của hàm số.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.