Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,CD\) của hình chữ nhật \(ABCD.\) Biết
Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,CD\) của hình chữ nhật \(ABCD.\) Biết rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) có đường kính \(d = \sqrt {8 + 2\sqrt 3 } \) và tồn tại điểm \(I\) thuộc đoạn \(MN\) sao cho \(\widehat {DAI} = {45^0},\,\,\widehat {IDA} = {30^0}.\)Khi đó diện tích \(S\) của hình chữ nhật \(ABCD\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Tính các cạnh \(AB,AD \Rightarrow S = AB.AD\)
Theo giả thiết đường kính của đường tròn là \(\sqrt {8 + 2\sqrt 3 } \)
nên bán kính của đường tròn là \(R = \frac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 3 } }}{2}.\)
Theo giả thiết \(\widehat A = {90^0},\widehat {DAI} = {45^0},\) nên \(\widehat {IAM} = \widehat A - \widehat {DAI} = {90^0} - {45^0} = {45^0}.\) Do \(M,\,N\) là trung điểm
của các cạnh hình chữ nhật nên \(MN \bot AB.\) Do đó \(\widehat {AMI} = {90^0}.\)
Từ đó suy ra \(\widehat {AIM} = {45^0}.\) Vậy tam giác \(\Delta AMI\) vuông cân tại \(M.\)
Vì vậy \(AM = MI\,\,\left( 1 \right).\)
Do \(\widehat D = {90^0},\,\widehat {ADI} = {30^0} \Rightarrow \widehat {IDN} = {60^0}.\)
Từ đó \(\sin \,\widehat {IDN} = \frac{{IN}}{{DI}} \Rightarrow IN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}DI.\) Tam giác \(DNI\) vuông tại \(N\) nên
\(D{I^2} = D{N^2} + I{N^2}.\) Do đó \(D{I^2} = D{N^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}DI} \right)^2} \Rightarrow DN = \frac{{DI}}{2}.\) Vì vậy \(IN = \sqrt 3 DN = \sqrt 3 AM\,\,\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(AD = MN = IM + IN = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)AM = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}AB.\)
Diện tích của hình chữ nhật là \(S = AB.AD = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}A{B^2}\,\,\left( 3 \right).\)
Ta lại có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A{M^2} + O{M^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AD}}{2}} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow A{B^2} + A{D^2} = 4{R^2} \Leftrightarrow A{B^2} + {\left( {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}AB} \right)^2} = 4{R^2}\\\Leftrightarrow \frac{{8 + 2\sqrt 3 }}{4}A{B^2} = 4{R^2} = 4{\left( {\frac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 3 } }}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow AB = 2\,\,\left( 4 \right).\end{array}\)
Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(S = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}.4 = 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\)
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
